Интервальный анализ погрешностей

Для разрешения проблемы погрешностей в практических приложениях используются статистические и детерминистические математические методы, из которых наиболее широко применяются методы математической статистики и интервального анализа. Методы математической статистики теоретически обеспечивают получение более точных результатов по сравнению с интервальным анализом при известных распределениях случайных величин и больших объёмах выборок; реальную пользу они приносят, если применяются обоснованно. Недостаточно обоснованное применение статистических методов может приводить к серьезным ошибкам и неверным выводам. Основными условиями применения статистических методов для анализа, оценки и снижения погрешностей являются многократность повторения и измерения исследуемого явления и статистическая устойчивость данных. Последнее означает, что хотя каждый отдельный результат предсказать невозможно, но для достаточно длинной последовательности результатов имеется определенная закономерность: частота попадания результата в любой интервал при увеличении числа экспериментов должна стремиться к определенному пределу, что характеризуется вероятностным распределением значений случайной величины по всему возможному диапазону. Практическое применение методов математической статистики для оценки интервалов значений вычисляемых показателей и оптимальных решений сопряжено с рядом трудностей:

  • • распределение генеральной совокупности значений исходных данных часто бывает неизвестным;
  • • отсутствие данных для вычисления параметров распределения генеральной совокупности;
  • • сложность математической обработки исходных данных;
  • • низкая (вероятностная) надёжность получаемых результатов.

Интервальный анализ обеспечивает получение надёжных результатов, не требуя статистических характеристик данных.

В интервальном анализе вместо известного числа п основным понятием является интервал [п| = [а, Ь], где а < Ь. Арифметические операции над интервалами производятся по следующим правилам:

причем при делении интервал [ с, d ] не содержит 0.

Свойства операций над интервалами внешне похожи на соответствующие свойства операций над числами, в частности сложение и умножение коммутативны:

Однако основные свойства операций над интервалами существенно отличаются от свойств операций над числами, так для интервалов вычитание не обратно сложению; и деление - не обратно умножению.

При анализе производственных ситуаций и формировании управленческих решений с учетом неопределенностей наибольший интерес представляют границы интервалов значений, так как именно при нахождении оптимальных решений на границах интервалов могут возникать наибольшие отклонения принимаемых решений от оптимума, что будет вызывать наибольшие информационно-технологические потери. Поэтому большинство задач интервального анализа сводится к нахождению предельных значений исследуемого показателя.

Если для исходных данных заданы интервалы, то с помощью интервального анализа можно вычислить двусторонние интервалы для конечных результатов вычислений. Интервальные значения исходных данных, по которым вычисляются производственные показатели, предопределяют то, что и вычисляемый показатель будет характеризоваться интервалом значений, внутри которого находится его истинное значение.

Интервалы значений исходных данных определяются по их погрешностям.

Предположим, что имеется измеренное значение хизм некоторой характеристики изучаемого объекта. Его погрешность А описывается выражением:

где хист - истинное значение измеряемой величины.

Пусть измерение характеризуется абсолютной погрешностью г р. Из определения погрешности измерения следует, что интервальное значение [х] измеренной величины х равно:

или

Связь интервалов значений данных с их погрешностями поясняет рисунок 7.4.

Интервал истинного значения измеренной величины

Рисунок 7.4 - Интервал истинного значения измеренной величины

Таким образом, для нахождения границ интервала [х] = [хь х2] значений некоторой величины х с известной погрешностью следует использовать соотношения:

для нижней границы: х(изм - а для верхней границы: х2изм+ р

Если рассматриваемая характеристика имеет несколько погрешностей (аь а2, а3,....; Pi, р2, Рз,.....), то её общая погрешность (а2, р?) находится (с некоторым приближением) их суммированием:

Пример. Вычисление интервала значений нормы обменной энергии |ОЭн] для суточного рациона лактирующей коровы

Норма обменной энергии ОЭи для суточного рациона лактирующей коровы вычисляется по формуле:

где ОЭц - норма обменной энергии, выраженная в энергетических кормовых единицах (ЭКЕ);

М - масса коровы, кг;

Упр - приведенный суточный удой, который может быть получен от коровы при кормлении, соответствующем нормам (потенциальный удой), кг.

Приведенный удой - это расчетный удой, получаемый при пересчете удоя с фактической жирностью молока на молоко с жирностью 4 % . Приведенный удой вычисляется следующим образом:

где У - значение массы удоя с жирностью Жф, кг;

Жф - фактическое значение жирности молока, %.

Таким образом, для вычисления нормы суточной потребности лактирующей коровы в обменной энергии, используются следующие исходные данные: масса коровы, масса удоя и жирность молока, интервалы значений которых следует определить по характеристикам измерительных приборов и точностных характеристик методов измерений.

Исходные данные Масса коровы М = 520 кг Суточный удой У - 16 кг Жирность молока Ж = 3.7 %

Погрешность измерения массы коровы ±4 %

Максимум старения информации по массе коровы (+10, -5) % Погрешность измерения массы удоя ±2 %

Методическая погрешность измерения массы удоя (0, -30) % Максимум старения информации по массе удоя (+4, -10) % Погрешность измерения жирности молока ±3 %

Максимум старения информации по жирности молока ±5 % Интервалы значений исходных данных Суммарная предельная погрешность:

М-(+9,-14)%

У - (+6, -40) %

Ж - (±8) %

Интервалы:

|М] = 520 * [0.91, 1.14] = [473, 593] кг [У] = 16 * [0.94, 1.40] = [15.0, 22.4] кг [Ж] = 3.7 * [0.92, 1.08] = [3.4, 10.0] %

Решение

[У„Р] = т* (0.4 + 0.15 *[Жф])

] = [15.0, 22.4] * (0.4 + 0.15 * [3.4, 10.0]) = [13.7, 22.4] кг [ОЭн] = 1.2 + 0.00914 * [М] + 0.57 * [Упр]

[ОЭн] = 1.2 + 0.00914 * [473, 593] + 0.57 * [13.7, 22.4J = [12.12, 110.19[.

Таким образом, суточная норма обменной энергии для рассматриваемой коровы лежит в интервале [12.12, 110.19] ЭКЕ. Точное значение нормы неизвестно из-за имеющихся погрешностей.

Для оценки сравнительной значимости каждого источника неопределенности в образовании интервала оптимального решения выполняется структуризация интервала по источникам неопределённости - определение долей найденного интервала оптимального решения, вносимых каждым из учитываемых источников неопределенности.

('Структуризация - один из методов системного анализа, при котором объект исследований разделяется по определенным признакам на составные части).

Структуризация интервала оптимального решения выполняется для оценки сравнительной значимости каждого источника неопределенности в образовании этого интервала.

Последовательность структуризации интервала оптимального решения:

1. Найти интервал оптимального решения «D» с учетом всех источников неопределенности:

2. Вычислить интервал оптимального решения без учета первого источника неопределенности:

3. Вычислить абсолютную долю интервала оптимального решения, порождаемую первым источником неопределенности (Aj):

  • 4. Повторить п.п. 2-3 для всех источников неопределенности.
  • 5. Найти сумму (S) долей интервала оптимального решения по всем источникам неопределенности:

N - количество учитываемых источников неопределенности.

6. Вычислить процентную долю интервала оптимального решения, вносимую каждым источником неопределенности (8():

7. Ранжировать список источников неопределенности по значению процентной доли интервала оптимального решения, вносимой источником неопределенности.

Полученный ранжированный список показывает «вес» и сравнительную значимость каждого источника неопределенности в образовании интервала оптимального решения, что может использоваться при определении приоритета разработки мероприятий по снижению неопределённо- сти оптимального решения.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >