МЕТОДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ОПРЕДЕЛЕНИИ ОПТИМАЛЬНОГО ВАРИАНТА ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ РАЙОНА

В региональной экономике, как и в других науках, зависимости между предметами, явлениями, процессами отражаются в виде функций. Существуют различные способы задания функций. С точки зрения математического анализа наиболее важным является аналитический способ, когда функция задается формулой. Формулы указывают те аналитические операции (действия) над постоянными числами и над значением х, которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение у.

В этом множестве зависимостей большое значение в практике региональной экономики, как и в экономике в целом, имеет определение экстремальных (максимальных, минимальных) значений функций. При определенных условиях такое значение функций может быть найдено в результате их математического анализа на основе производных. Предметом изучения функций с помощью производных является зависимость между двумя или несколькими переменными при их совместном изменении.

В математическом анализе полагается, что, если функция /(х) определена и непрерывна в промежутке [а, Ь], не является в нем монотонной (т.е. все время не растет и не уменьшается), то найдутся такие части [а, р] промежутка [а, Ь], в которых наибольшее или наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между а и (З1. Экстремум в таких точках может быть найден с помощью производных. Знание производной (или ряда производных) функции позволяет делать заключение о поведении функции. Экстремум функции /(х) определяется значением неизвестного переменного — аргумента, обращающего первую производную функции /'(х) в нуль.

Для испытания экстремальной точки (х0) на минимум (или максимум) в производную /'(х) подставляется сначала х < х0, а затем х > х0. Таким образом устанавливается знак производной поблизости от точки х0, слева и справа от нее. Если при этом производная /'(х) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если минус на плюс, то — минимум, если знак не меняет — экстремума нет.

Если функция/(х) в конечном замкнутом промежутке [а, Ь] имеет несколько экстремумов, то выбор наибольшего или наименьшего значения функции /(х) осуществляется сравнением выявленных максимумов и минимумов. В прикладных задачах чаще всего встречается простой случай, когда между а и b оказывается лишь один экстремум.

1

Фихтенголъц Г.М. Основы математического анализа. Т. I. М.: Наука, 1968. С. 197.

Рассмотрим исследование функций с помощью производных на примере построения оптимальной транспортной сети для трех пунктов. Объем перевозок между п. 1—2 и 1—3 принимается равным соответственно Qx и Q2 (рис. 12.2). Задача решается графо-аналитическим методом, в основу которого положен метод нахождения экстремальных значений функций (дифференциального исчисления).

Социально-экономические связи между п. 1, 2 и 3

Рис. 12.2. Социально-экономические связи между п. 1, 2 и 3

В принятых условиях транспортная сеть может состоять либо из двух дорог, соединяющих напрямую п. 1 с п. 2 и п. 3, либо строится общая дорога, а затем на каком-то расстоянии она раздваивается. В общем случае мы должны определить оптимальную точку разветвления суммарного потока п. 1, расстояние до нее от п. 1.

Если принять производственные и культурно-бытовые связи за своебразные силы взаимодействия населенных пунктов, то оптимальное направление общей дороги будет определяться направлением равнодействующей силы, проведенной из п. 1 (Rx). Основной характеристикой местоположения транспортного узла (узла разветвления потоков) является расстояние (х) до него из этого пункта (рис. 12.3). Выбор оптимального направления главной дороги (Rt) и расстояния от п. 1 до транспортной развязки (х) при принятых обществом нормативах строительства обеспечивает минимум дорожно-транспортных затрат, необходимых для осуществления перевозок на проектируемой дороге и на подъездах к ней.

Транспортная сеть, соединяющая п. 1 с п. 2 и 3

Рис. 12.3. Транспортная сеть, соединяющая п. 1 с п. 2 и 3

Смоделируем в символах оптимальную транспортную сеть в условиях заданных связей п. 1 (Qx, Q2) и принятого критерия минимизации дорожно-транспортных затрат:

где а — расстояние от п. 1 до основания перпендикуляра Л, а = 26,4 км;

b — расстояние от п. 1 до основания перпендикуляра В,Ь = 32,0 км; hx — высота перпендикуряра 2A, hx = 9,5 км; h2 высота перпендикуляра 3В, h2 = 14 км;

Е — коэффициент экономической эффективности капитальных вложений, Е = 0,15;

К, Kt, К2 — удельные капитальные вложения в строительство дорог соответственно 1-0, 0-2 и 0-3, К = 1,3 млн руб./км, Kt = К2 = = 1,0 млн руб./км;

Ооб’ Qv 0,2 ~ объем перевозок соответственно по основной дороге (1-0) и по подъездам к ней (0-2) и (0-3), = 160 тыс. т, Qx =

= 100 тыс. т, Q2 = 60 тыс. т;

S,SX,S2 — затраты на перевозку 1 т груза на расстояние 1 км соответственно по дорогам 1-0, 0-2 и 0-3, S= 1,5 руб./т км, Sx = S2 = = 2 руб./т км.

Так как функция U (х) определена и непрерывна на отрезке 1— В, не является в нем монотонной, поэтому внутри рассматриваемого промежутка она будет иметь экстремум.

Для нахождения оптимального расстояния от п. 1 до точки раздвоения потока Qa6 (х) функция (1) дифференцируется, а ее производная приравнивается нулю

Решение уравнения (2) методом половинного деления дает следующие результаты. В крайних точках промежутка 1 - В (х= Оих = 32) первая производная функции U'(x) принимает значения противоположных знаков. Делим промежуток в 32 км пополам. Определяем знак и значение производной при х = 16: U'(x) = -28,3 тыс. ед. Выбираем отрезок 16 км — 32 км, где первая производная U'(x) в его крайних точках принимает значения противоположных знаков, и делим его пополам. Определяем значение и знак первой производной U'(x) в точке х = 24 км и т.д. На восьмой итерации первая производная принимает значение близкое к нулю, оптимальное значение х — 17,6 км. Первая производная ?/'(х) вблизи оптимальной точки меняет знак с минуса на плюс, что свидетельствует о минимальном значении функции U(x) в точке 17,6 км.

График функции U(x) в интервале 1 —В отражен на рис. 12.4.

Найденное таким образом неизвестное расстояние откладывается по направлению результирующей силы, и конец отрезка будет как раз тем пунктом, к которому выгоднее всего строить подъезды.

График изменения дорожно-транспортных затрат в зависимости от расположения точки примыкания подъездов к дороге, выходящей из и. 1

Рис. 12.4. График изменения дорожно-транспортных затрат в зависимости от расположения точки примыкания подъездов к дороге, выходящей из и. 1

Мы разобрали частный простой пример построения транспортной сети. Однако изложенный методический подход может быть применен и для значительно более сложной ситуации, когда требуется построить транспортную сеть для большого числа взаимодействующих населенных пунктов.

Транспортную сеть можно рассматривать как систему дорог (участков дорог) от одного узла разветвления потоков до другого (следующего). Если принять производственные и культурно-бытовые связи за своеобразные силы взаимодействия населенных пунктов, то оптимальные маршруты следования потоков корреспондирующих пунктов, как и соответствующие им участки транспортной сети, могут быть выявлены исходя из направлений этих сил.

Равнодействующая сила взаимодействия всех пунктов исследуемого района с пунктом j (Rj) указывает на направление транспортной магистрали, обслуживающей все связи^-го пункта. Малые результирующие силы первого (г-), второго 0)")и т.д. до т - 1 порядка, где т — количество связей j-ro пункта, определяют направление дорог, обслуживающих часть этих связей. За точки приложения результирующих сил принимаются оптимальные узлы разветвления потоков корреспондирующих пунктов. При этом полагается, что основной характеристикой местоположения транспортного узла на линии, определяющей направление равнодействующей, является расстояние до него от ближайшего (предыдущего) пункта разветвления потоков. Выбор оптимального расстояния между соседними узлами обеспечивает минимум дорожно-транспортных затрат, необходимых для осуществления перевозок на проектируемой дороге и на подъездах к ней.

Алгоритм синтеза транспортной сети предусматривает последовательное приближение к оптимальному варианту.

На первом этапе определяются география и оптимальные точки разветвления потоков для всех пунктов, имеющих две и более связей, и соответствующие им участки транспортной сети.

Принцип нахождения оптимальных точек разветвления потоков трех, четырех и большего числа связей пункта мало чем отличается от описанного выше простого случая с двумя связями. Это отличие в основном заключается в том, что при переходе к анализу транспортной сети, обслуживающей свыше двух связей, количество точек разветвления потоков увеличивается. К транспортным артериям, выходящим непосредственно из пунктов, тогда будут примыкать уже не дороги, обслуживающие отдельные связи, а дороги, по которым возможны перевозки суммарного количества груза и пассажиров от нескольких корреспондирующих с рассматриваемым центром пунктов, дороги, проходящие по направлениям малых результирующих сил (г). В свою очередь к ним возможно примыкание путей сообщения, направление которых определяют результирующие силы другого порядка, и т.д. Последовательность определения точек разветвления потоков в таком случае следующая. Сначала находится точка разветвления на дороге, выходящей из анализируемого пункта, затем — последовательно — на подъездах, проведенных по направлениям малых результирующих сил первого (г'), второго (г "), третьего (г'") и т.д. порядков. Далее проводится увязка частных решений, соединяются крайние точки преломления одноименных потоков. В итоге получается базовый вариант транспортной сети, первое приближение к оптимальному варианту.

Дальнейшее улучшение транспортной сети связано с периодическим повторением всей последовательности графических и вычислительных операций предыдущего этапа, но каждый раз на новой основе. Такая необходимость диктуется тем, что для каждого пункта на предыдущих этапах реализация возможностей построения оптимальных точек разветвления потоков создает новые возможности для улучшения сети, не заложенные в прежнем положении точек.

Эти возможности возникают по причине новых местоположений точек разветвления потоков корреспондирующих пунктов, отсутствовавших ранее. Если, например, на предыдущем (первом) этапе оптимальный вариант географии грузовых и пассажирских потоков (транспортной сети) пункта определялся относительно корреспондирующих с ним пунктов, то на следующем этапе оптимальная конфигурация транспортной сети, обслуживающей связи анализируемого пункта, будет определяться уже относительно ближайших оптимальных точек разветвления грузовых и пассажирских потоков корреспондирующих с ним пунктов, выявленных на предыдущем расчетном этапе. С другой стороны, новое положение точек разветвления потоков анализируемого пункта изменит конфигурацию транспортной сети корреспондирующих с ним пунктов, которая повлечет за собой изменение в географии сети других пунктов и т.д. до последнего.

Процесс улучшения заканчивается, если реализованные возможности или перестают давать новые возможности, или, что чаще, дают такие возможности, которые не оказывают существенного влияния на общую конфигурацию и техническую оснащенность транспортной сети.

Похожий методический прием был использован немецким экономистом А. Лешем при определении оптимальной конфигурации трассы, проходящей по морю и по суше [17].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >