Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Справочник
Посмотреть оригинал

Преобразования Галилея. Классический закон сложения скоростей

Часто при описании движения необходимо перейти от одной системы отсчета к другой. Предположим, что наблюдатель находится в неподвижной системе отсчета XYZ. В данный момент времени положение точки А в ней задается радиусом-вектором г (рис. 3). Пусть система X'Y'Z', совпадающая с неподвижной системой XYZ в начальный момент времени, движется относительно нее с постоянной скоростью и, направленной вдоль оси X (X'). Положение точки в системе X'Y'Z' задается радиусом-вектором г . Положение начала координат О' подвижной системы относительно неподвижной определяется радиусом-вектором г0 . Согласно правилу сложения векторов

или

Выражение (1) называют преобразованием Галилея.

Рис. 3

Для моментов времени t2 и tx (t2 > tj преобразование для радиусов-векторов можно записать в виде

Вычтем из первого выражения второе:

Разделив правую и левую части на (t - tх), получим

где v и v — соответственно скорости точки относительно неподвижной и подвижной систем отсчета. Выражение (2) называют правилом сложения скоростей в классической механике. Предполагалось, что время в обеих системах отсчета течет одинаково, т.е. время является инвариантом при преобразованиях Галилея.

Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение материальной точки

В случае движения материальной точки по прямой координатную ось X можно направить вдоль этой прямой и рассматривать движение как одномерное, т.е. гх = х[1]. Тогда согласно выражению (2) п. 1.2 следует, что

Ах

Учитывая, что vr - —, можно записать:

* At

где v — средняя скорость за время Д^.

Движение называется равномерным, если скорость точки остается постоянной, т.е.

Уравнения (1—3) полностью описывают прямолинейное равномерное движение точки.

Равнопеременное движение — это движение с постоянным ускорением:

Учитывая выражение для ускорения а--——, получим

t-t0

Для прямолинейного равнопеременного движения

В данном случае направление оси X выбрано по направлению вектора скорости.

В случае равнопеременного движения скорость и изменяется, являясь функцией от времени (рис. 4).

Рис. 4

Для малого помежутка времени dt проекция перемещения dx будет определяться выражением dx = vx dt.

Из рис. 4 следует, что dx равна площади закрашенного участка, поскольку скорость за малый промежуток времени не изменяется и равна мгновенной скорости V.

Проекция перемещения Ах, совпадающая с длиной прой-

п

денного пути, за время At = t1-t0 равна Ах - ^п dx^. опреде-

i

ляется как площадь трапеции. Тогда

Умножим и разделим второе слагаемое на t1-t0:

или, учитывая формулу (7), получим

Принимая tQ = 0, ? = ?, получим

Уравнения (6—8) являются кинематическими уравнениями, полностью характеризующими прямолинейное равнопеременное движение.

Если ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость, то движение называется равноускоренным, если направлено в сторону, противоположную скорости, — равнозамедленным. Формулы, аналогичные (8), можно получить и для остальных координат перемещения г? = у, гг = г. Поэтому для радиуса-вектора можно записать:

Это выражение справедливо для любого движения с постоянным ускорением. Вместе с формулами

выражение (9) полностью описывает равнопеременное движение.

  • [1] Данная запись означает тождественное равенство.
 
Посмотреть оригинал
 

Популярные страницы