Вывод законов Ома и Джоуля—Ленца из классической теории электропроводности металлов

1. Закон Ома. Если в металлическом проводнике напряженность электрического поля Е = const, то со стороны поля заряд е испытывает действие силы F=eE и приобретает ускорение

Во время свободного пробега (путь между двумя последовательными столкновениями с ионами решетки) электроны движутся равноускоренно, поэтому средняя скорость их упорядоченного движения

[учли (39.2) и тот факт, что, согласно теории Дру- де, в конце свободного пробега электрон, сталкиваясь с ионами решетки, отдает им накопленную в поле энергию, поэтому скорость его упорядоченного движения становится равной нулю).

В формуле (39.2) (I) — среднее время между двумя последовательными соударениями электрона с ионами решетки. Друде не учитывал распределения электронов по скоростям, поэтому (I) определяется средней длиной свободного пробега (I) и средней скоростью движения электронов относительно кристаллической решетки проводника, равной (и) + (v) ((и) — средняя скорость теплового движения электронов). В § 38 было показано, что (v)(и), поэтому

Подставив это выражение в формулу (39.2) для {v), найдем

Плотность тока в металлическом проводнике, согласно (30.4) и (39.4),

откуда следует, что плотность тока пропорциональна напряженности поля, т. е. получили закон Ома в дифференциальной форме |ср. с формулой

(33.2)]. Коэффициент пропорциональности между у и ? есть не что иное, как удельная проводи- мость материала

которая тем больше, чем больше концентрация свободных электронов и средняя длина их свободного пробега.

2. Закон Джоуля—Ленца. К концу свободного пробега электрон под действием электрического поля приобретает дополнительную кинетическую энергию:

[учли, что vm„ =a(t) = —(t) и формулу (39.3)]. т

Согласно теории Друде, при соударении с ионом электрон полностью передает эту приобретенную энергию решетке. При этом сообщенная решетке энергия идет на увеличение внутренней энергии металла, т. е. на его нагревание.

За единицу времени электрон испытывает с узлами решетки в среднем (2) столкновений:

Если п — концентрация электронов (их число в единице объема), то каждый из электронов ежесекундно в среднем испытывает и (г) столкновений и решетке передается энергия

которая идет на нагревание проводника. Подставив (39.6) и (39.7) в формулу (39.8), найдем энергию, передаваемую решетке в единице объема проводника за единицу времени, — удельную тепловую мощность тока (см. § 36):

где коэффициент пропорциональности между н> и Е: — удельная проводимость у [см. (39.5)).

Формула (39.9) выражает закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме [см. также (36.8)].

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >