Основные понятия частотного представления сигнала (спектральное представление сигналов)

Частотную природу сигнала определить несложно, если принять во внимание, что реальный электромагнитный сигнал составляется из многих частот. Так, любой периодический сигнал (рис. 3.11, д) может быть представлен в виде суммы синусоид, называемой рядом Фурье: Представление периодического сигнала суммой синусоид

Рис. 3.11. Представление периодического сигнала суммой синусоид: а—г — гармоники; д — сумма гармоник

Каждая составляющая синусоида (рис. 3.11, аг) называется гармоникой. Частота coj = 2Ttf[ называется собственной частотой или собственной гармоникой, если все остальные кратны ей. Периодический сигнал с периодом Т состоит из собственной частоты f =1/Т и частот, кратных ей. Период суммарного сигнала равен периоду собственной частоты. Если член U0 ф 0, то сигнал U(t) содержит постоянную состав- (}А

ляющую — . Значения коэффициентов, входящих в выражение

v 2 )

(3.3), вычисляются следующим образом:

где an, Ьп — амплитуды косинусных и синусных членов разложения U(t).

Такое представление, называемое синусно-косинусным, — наиболее простое для вычисления, но неудобно тем, что на каждой частоте присутствуют две компоненты. Существует другое представление, называемое амплитудно-фазовым, которое имеет вид

где U = Jill + bj; — амплитуда (модуль), (р = arctg— — фаза (аргумент n-й гар-

а„

моники).

Ряд Фурье можно представить и в комплексной форме

2 т

где со, = 2л/Т = 2jtf,, Un = — f U(t)e“-ill|tdt.

TJo

Так, для периодического ситапа U(t), повторяющегося с частотой со = 2л/Т и периодом Т, заданного в интервале t[2 (рис. 3.12), постоянная составляющая и модуль определяются из выражений Периодический сигнал

Рис. 3.12. Периодический сигнал

Для периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуды U и длительности т (рис. 3.13) среднее значение (постоянная составляющая) вычисляется по формуле (3.7):

Последовательность прямоугольных импульсов

Рис. 3.13. Последовательность прямоугольных импульсов

Амплитуда и фаза n-й гармоники рассчитываются по соответствующим формулам [3]:

После подстановки выражений (3.8), (3.9) в формулу (3.4) получим

Диаграммы распределения по частоте амплитуд и фаз гармонических составляющих называются спектральными диаграммами сигнала, а линии, соответствующие амплитудам и фазам гармоник, — спектральными линиями.

Структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками — амплитудой и фазой, т.е. модулем Un и аргументом комплексной амплитуды фп.

Если интересуют не значения амплитуд и начальных фаз гармоник, а только частоты, на которых они присутствуют, то говорят о спектре

частот сигнала. Представление сигнала в частотной области называется спектральным. Спектр периодического сигнала состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам: 0, соь со2 = 2соj, со3 = Зсс^ и т.д., и называется линейчатым или дискретным. Наглядное представление о ширине спектра и относительной величине его отдельных гармоник дает графическое изображение спектра (рис. 3.14). По оси ординат отложены модули амплитуд, по оси абсцисс — частоты соответствующих гармонических составляющих. Совокупность амплитуд гармонических составляющих называется амплитудным спектром колебания.

Амплитудный спектр

Рис. 3.14. Амплитудный спектр

Для исчерпывающей характеристики спектра подобное изображение должно быть дополнено заданием фаз отдельных гармоник.

Так, элементарное гармоническое колебание (рис. 3.15)

можно представить в виде двух составляющих — амплитудной, отображенной единственной линией высотой U (рис. 3.16, а), и фазовой (рис. 3.16, б), изображенной линией, равной значению фазы ф = -я/2.

Гармоническое колебание

Рис. 3.15. Гармоническое колебание

Спектр гармонического колебания

Рис. 3.16. Спектр гармонического колебания: а — амплитудная составляющая; б — фазовая составляющая

Если сигнал U(t) состоит из суммы двух гармоник, например первой и третьей (рис. 3.17)

то его представление в виде двух составляющих спектра имеет вид, приведенный на рис. 3.18.

Сложение гармоник

Рис. 3.17. Сложение гармоник

Спектральное представление сигнала

Рис. 3.18. Спектральное представление сигнала: а — амплитудные составляющие; б — фазовые составляющие

Спектром сигнала называется диапазон частот, составляющих данный сигнал. Для сигнала (см. рис. 3.18) спектр лежит в области частот от со до Зсо или от f до 3f. Абсолютной шириной полосы сигнала называется ширина его спектра. В рассматриваемом случае (см. рис. 3.18) ширина полосы равна 2со (2f).

Введем еще один термин — постоянная составляющая. Если в сигнале имеется гармоника нулевой частоты, то она называется постоянной составляющей. Результат добавления такой составляющей к сигналу (3.12) показан на рис. 3.19:

Сигнал с постоянной составляющей (а) и его спектральное разложение (б)

Рис. 3.19. Сигнал с постоянной составляющей (а) и его спектральное разложение (б)

При наличии этой составляющей сигнал имеет частотный член при f=0 (см. рис. 3.19, б) и ненулевую среднюю амплитуду. Если постоянной составляющей нет, средняя амплитуда сигнала равна нулю. Суммируя бесконечное число нечетных гармоник

можно получить сигнал в форме последовательности прямоугольных импульсов (рис. 3.20). Его амплитудный и частотный спектры представлены на рис. 3.21.

Последовательность прямоугольных импульсов

Рис. 3.20. Последовательность прямоугольных импульсов

Спектры

Рис. 3.21. Спектры: а — амплитудный; б — частотный

Таким образом, периодический сигнал любой формы может быть представлен в виде суммы (в общем случае бесконечной) гармонических колебаний.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >