Двумерная плотность вероятности системы нормально распределенных случайных величин

Система случайных величин (X; У) имеет нормальный закон распределения, если двумерная плотность вероятности этих случайных величин определяется формулой

где тх, ту, ах, ау — математические ожидания и среднеквадратичные отклонения случайных величин Хи У; р^ — коэффициент линейной корреляции случайных величин Хи У.

Вычислим одномерные безусловные и условные плотности вероятности случайных Хи У. Для безусловной плотности вероятности W{y) можно записать:

В подынтегральной функции показатель степени экспоненты дополним до полного квадрата. Для этого в квадратных скобках показателя экспоненты добавим слагаемые

В результате выражение (3.73) можно преобразовать к виду:

После замены переменной получим:

интеграл в полученном выражении преобразуется в интеграл Пуассона:

В данной формуле интеграл равен л[2п , поэтому для безусловной одномерной плотности вероятности Щу) окончательно получим:

Данная формула полностью совпадает с формулой (3.14) для нормального закона распределения непрерывной случайной величины.

Выполнив аналогичные преобразования при интегрировании (3.72) по у, получим одномерную плотность вероятности случайной величины X.

Поделив двумерную плотность вероятности Щх; у) формула (3.72) на одномерные плотности вероятности (3.74) и (3.75), получим условные плотности вероятности случайных величин Хи Y.

Сравнивая формулы (3.76) и (3.77) с нормальным законом распределения (3.74) и (3.75), видим, что условные плотности вероятности W(x/y) и W(y/x) также имеют нормальный закон распределения с условными математическими ожиданиями

и условными среднеквадратичными отклонениями

Формулы (3.78) позволяют записать уравнение регрессии одной случайной величины на другую:

Из данных уравнений регрессии и условных плотностей вероятности (3.76) и (3.77) можно сделать следующий вывод. При значении случайной величины х(у), вычисленной по первому (второму) уравнению регрессии, условная плотность вероятности W(x/y) (W(y/x) имеет максимальное значение.

По формулам (3.79) при тх = 2; ту = 1; ах =1; ау = 2 произведен расчет и построены линии регрессии для коэффициентов корреляции Рху =0,7и Рху =_0,7. Графики линий регрессии приведены на рис. 3.21.

На приведенных графиках показано, что линии регрессии пересекаются в точке с координатами х = тх, у = ту. При положительном коэф-

Линии регрессии нормально распределенных случайных величин

Рис. 3.21. Линии регрессии нормально распределенных случайных величин: а— =0,7; б- pv = -0,7

фициенте корреляции линии регрессии имеют положительный наклон к оси Ох. При отрицательном коэффициенте корреляции тангенс угла наклона линий регрессии к оси Ох также отрицательный. Из формул (3.79) следует, что для некоррелированных случайных величин X и У, когда рху = 0, уравнения регрессии имеют вид:

т.е. при рху = 0 линии регрессии параллельны осям Ох, Оу и перпендикулярны между собой.

Из формулы (3.72) и формул (3.74) и (3.75) следует, что при рху = 0 двумерная плотность вероятности Щх; у) равна произведению одномерных:

Из этого следует, что для нормально распределенных случайных величин равенство нулю коэффициента корреляции свидетельствует также о независимости этих случайных величин. Для случайных величин, закон распределения которых отличается от нормального, это утверждение несправедливо.

На рисунке 3.22 приведены графики зависимости двумерной плотности вероятности, рассчитанные по формуле (3.72) при различных значениях тх, ах, ту, оу и значениях коэффициента корреляции рху.

Двумерная плотность вероятности Щх; у) представляет собой криволинейную поверхность в трехмерном пространстве. Форма этой поверхности зависит от значений математических ожиданий х; ту); среднеквадратичных отклонений (ах; ау ) и коэффициента корреляции случайных величин.

Если поверхность двумерной плотности вероятности W(x; у) пересечь плоскостью F(x; у) = С, параллельной плоскости хОу, то линия пересечения будет представлять собой эллипс, который называют эллипсом равной плотности вероятности или эллипсом рассеяния случайных величин X и Y. Для получения уравнения эллипса рассеяния приравняем правую часть формулы (3.72) постоянной величине Си получим:

Если прологарифмировать левую и правую части полученного выражения, то для эллипса рассеяния получим уравнение

где Ci-ln^^cj — значение постоянной С, выбирается таким, чтобы произведение, стоящее под логарифмом, было меньше единицы.

В этом случае в правой части уравнения (3.80) получится положительное число.

Из уравнения (3.80) следует, что центр эллипса рассеяния расположен в точке с координатами х = тх, у = ту (рис. 3.23). При рху = 0 , т.е. если случайные величины Л" и 7являются некоррелированными и независимыми, эллипс рассеяния определяется уравнением

При рху = 0 оси эллипса рассеяния параллельны координатным осям Ох и Оу, а размеры полуосей зависят от среднеквадратичных отклонений о, и ст„.

При рху уравнение (3.80) преобразуется к виду: Графики двухмерной плотности вероятности нормально распределенных случайных величин или

Рис. 3.22. Графики двухмерной плотности вероятности нормально распределенных случайных величин

Эллипсы рассеяния нормально распределенных случайных величин при различных значениях коэффициента корреляции

Рис. 3.23. Эллипсы рассеяния нормально распределенных случайных величин при различных значениях коэффициента корреляции:

Q рху 0,6 Рху 1, рху 1, в Рху 0,5, 2 рху 0,5

То есть при рху =±1 эллипс рассеяния преобразуется в прямую линию, проходящую через точку с координатами х = тх, у = ту, с тангенсом угла наклона к оси Ох, равным ±сту / ах.

При |pxy| < 1 ориентация эллипса относительно координатных осей зависит от знака и значения коэффициента корреляции.

На рисунке 3.23 приведены графики эллипсов рассеяния, рассчитанные по формуле (3.80) для/их = 2; ах = 2; ту = 1; ау =1 ирху=1; 0,5; 0; -0,5.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >