Вывод формул к законов теплового излучения из формулы Планка

Из формул Планка (55.4) и (55.5) можно получить все рассмотренные ранее формулы и законы, описывающие тепловое излучение.

1. Закон Стефана—Больцмана. Согласно (52.4) и (55.4),

Введем безразмерную переменную:

Выражение (56.1) преобразуется к виду

где

Подстановка в формулу (56.3) числовых значений к, с и h дает значение постоянной Стефана-Больцмана [см. (53.2)]. Таким образом, формула (56.2) определяет закон Стефана—Больцмана.

2. Закон смещения Вина. Значение Хтах в законе Вина найдем из условия —h~ = 0. Учитывая

оЛ

выражение (55.5), запишем

или

he

Введя л- = ——— и пр(фавняв (56.4) нулю,

^-тах

получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает

he

х = 4,965. Следовательно, ——— = 4,965, откуда

^пих

т. е. получили закон смещения Вйна (см. (53.3)|.

3. Формула Рэлея—Джинса. В области малых частот, т. е. при Av <К кТ (энергия фотона очень мала по сравнению с энергией теплового движения кТ), разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (55.4), найдем

т. е. получили формулу Рэлея—Джинса [см.

  • (54.1) ].
  • 4. Формула Вина. В области больших частот, т. е. при Им 3> кТ [энергия фотона много больше энергии теплового движения кТ из формулы Планка (55.4)], получается, что

Это выражение совпадает с формулой Вина

(54.2) .

Формула Планка, таким образом, не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, т. е. является полным решением основной задачи теплового излучения. Это стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Оптическая пирометрия

Оптическая пирометрия — совокупность оптических методов измерения высоких температур, основанных на зависимости спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры.

Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называют пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении температуры тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

Радиационная температура (Тр) — это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость Л [см. (52.4)] равна энергетической светимости Rr [см. (52.2)] исследуемого тела.

В данном случае находится, согласно закону Стефана—Больцмана (53.1), энергетическая светимость исследуемого тела и вычисляется радиационная температура

Радиационная температура Тр всегда меньше его истинной температуры Г. В самом деле, если тело, например, серое, то, используя (52.4) и (53.1), можно записать

С другой стороны,

Из сравнения этих выражений вытекает, что

Так как А, < 1, то Т < Т, т. е. истинная тем- псратура тела всегда выше радиационной.

В случае серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости

где Ат= const < 1. Поэтому распределение энергии в спектрах излучения черного и серого тел одинаково, т. е. к серому телу может быть применен закон смешения Вина (53.3). Тогда, зная длину волны А.тах, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R . г исследуемого тела, можно определить его температуру:

которую называют цветовой температурой.

Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл.

Цветовая температура поверхности Солнца Г = 6000 К, а Гр = 5800 К. Столь малое различие этих температур указывает на то, что поверхность Солнца по свойствам близка к черному телу.

Яркостная температура Г — это такая температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.

где Т — истинная температура тела.

По закону Кирхгофа [см. (52.1)], для исследуемого тела при длине волны X

или, учитывая (57.1),

Так как для нечерных тел А < 1, то гкт < г, т и, следовательно, Тя < Т, т. е. истинная температура тела всегда выше яркостной.

В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. Накал нити пирометра подбирается таким, чтобы выполнялось условие (57.1). В данном случае изображение нити пирометра становится неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить как бы «исчезает». Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >