Формулы Рэлея—Джинса и Вина

Первая попытка найти аналитический вид функции г т, удовлетворяющей экспериментальным кривым (см. рис. 86), принадлежит В.А. Михельсону (1887). Однако полученная функция не согласовывалась с законами (53.1), (53.3) и (53.5).

Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости г т принадлежит Д. Рэлею и Д. Джинсу (1900), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея—Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где (е) = кТ — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. §11, кн. 2), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы (е) = к'Г.

Как показал опыт, выражение (54.1) дает хорошее согласие с экспериментом только при малых частотах (рис. 87). В области больших частот формула Рэлея—Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вйна.

Рис. 87

Оказалось также, что энергетическая светимость черного тела [см. (52.4)| с использованием формулы Рэлея—Джинса

в то время как по закону Стефана—Больцмана

(53.1) Л, пропорциональна четвертой степени температуры.

В области больших частот хорошее совпадение с опытом дает формула Вина, полученная из общих термодинамических соображений

где г. т — спектральная плотность энергетической светимости черного света; С и А — постоянные величины. В современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, формула Вина может быть записана в виде

Формула Рэлея—Джинса и закон Вина (имеется в виду закон излучения) — частные законы. Первая из них даст правильное спектральное распределение при малых частотах (hvкТ), а второй — при больших частотах (hv кТ). Они не дают обшей картины распределения энергии по всему диапазону частот.

Формула Планка

Аналитический вид функции г т (спектральной плотности энергетической светимости черного тела), согласующейся с экспериментальными данными, был найден М. Планком (1900). Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения.

Планк выдвинул квантовую гипотезу, согласно которой свет испускается в виде отдельных порцийквантов, причем энергия кванта

где v — частота излучения; X — длина волны. В формуле (55.1)

постоянная Планка.

Таким образом, согласно Планку, энергия осциллятора г может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии е0:

В данном случае среднюю энергию (е) осциллятора нельзя принимать равной кТ. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (см. § 11, кн. 2), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, формула Планка имеет вид

Формула Планка блестяще согласуется с экспериментальными данными и полностью описывает все особенности излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Из нее могут быть выведены (см. § 56) все рассмотренные ранее частные законы, описывающие тепловое излучение.

В формуле Планка от функции г т легко можно перейти к функции г т. Учитывая, что v = -

А,

и, согласно (51.3),

после подстановки в (55.4) получим формулу Планка для спектральной плотности энергетической светимости черного тела в переменных X и Т:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >