Площадь многоугольника в евклидовой геометрии. Теорема существования

Рис. 241

1. В этой главе мы будем рассматривать только фигуры, лежащие в одной плоскости. Напомним, что ломаной АхА2...Ап называется фигура, составленная из п — 1 отрезков Л1Л2, А2А3, ..., Апп. Эти отрезки называются звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если смежные звенья (т.е. АХА2 и А2А3, А2А3 и Л3Л4 и т.д.) не лежат на одной прямой и несмежные звенья не имеют общих точек. Если концы ломаной АхА2...Ап (т.е. точки Ах и А„) совпадают, то она называется замкнутой. В этом случае звенья Ап_х Ап и АхА2 также называются смежными. Простая замкнутая ломаная разделяет множество всех точек плоскости, не принадлежащих ломаной, на два подмножества, одно из которых называется внутренней, а другое — внешней областью относительно данной ломаной. На рисунке 241 внутренняя область замкнутой ломаной заштрихована. Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называется простым многоугольником. В этой главе мы будем рассматривать только простые многоугольники, называя их для краткости просто многоугольниками. Замкнутая ломаная, ограничивающая многоугольник, является его границей.

Пусть F — многоугольник, а А и В — две точки на его границе. Если мы соединим точки А и В простой ломаной L, все точки которой, кроме А и В, лежат внутри многоугольника, то получим два новых многоугольника Fx и F2 (рис. 242). Очевидно, Fx f| F2 = L, a Fx (J F2 =

= F. Многоугольник /’называют суммой многоугольников и F2 и пишут: F— F + F2.

Многоугольник назовем ориентированным, если указан порядок обхода его вершин. Ориентированный многоугольник будем обозначать так: F = Л1Л2...Лп.

Пусть jF= F + F2. Введем на многоугольниках F, F и F2 ориентации так, чтобы общие вершины многоугольников Z7 и /л, Т7 и ,/2 следовали друг за другом в одном и том же порядке. В этом случае будем говорить, что ориентации этих многоугольников согласованы. Тогда многоугольник F будем называть суммой многоугольников F и F2 и писать так: F = F + F2.

2. Для дальнейшего изложения введем вспомогательное понятие характеристики ориентированного многоугольника и рассмотрим некоторые ее свойства.

Обозначим через М множество всех многоугольников евклидовой плоскости а, а через к единичный вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Пусть а и b — произвольные векторы, параллельные плоскости о. Смешанное произведение abk обозначим через а°Ь, т.е. а°Ъ = abk .

Выберем на плоскости а ортонормированный базис /, j так, чтобы / j к = 1. Если векторы а и b в этом базисе имеют координаты а (а, а2), b (Ьь Ь2), то легко видеть, что

В самом деле, векторы a w b в базисе /, j, к имеют координаты а ь д2> 0)» b (b, b2, 0), поэтому из равенства аЫс получаем равенство (1).

Используя формулу (1), легко доказать равенства

Пусть F = А1А2...Лп ориентированный «-угольник, а О — произвольная точка плоскости о. Число

где /*/ =Оу4/, /= 1, 2,п, назовем характеристикой многоугольника F.

Если в прямоугольной системе координат Oi j плоскости а вершины многоугольника F имеют координаты А, (х,-, yf), где / = 1,2 то формулу (4) можно записать в виде

Рассмотрим некоторые свойства характеристики многоугольника. 1°. Характеристика многоугольника F не зависит от выбора точки О на плоскости а.

? Пусть О' — другая точка плоскости а, [ F ] характеристика многоугольника относительно этой точки, а р = О'О. По определению [F]'= r'°r'2+r'2°r'3+... + r'n-ior'n+r'„or'i, где r'=0'Ai, /= 1,2, ...

Учитывая равенства (2) и (3), получаем:

Сложив эти равенства и принимая во внимание равенство (2), получаем [ F ]' = [ F . я

2°. Если F = Fi +12, то | [ F ] | > | [ 1 ] и | [ F ] > [ F2 ] |.

Это свойство мы приводим без доказательства.

3°. Если F — произвольный многоугольник, то [ F ] ф 0, поэтому

imi>o. _ __

? Рассмотрим сначала случай, когда F —треугольник: F = АхА2...Аг. Если за точку О выбрать точку Аь то по формуле (4) получаем [ Е ] =

= Г2°тз. Но векторы г2 и п не коллинеар- ны, поэтому из формулы (1) [ Е ] ф 0 и, значит, |[ F ]| > 0.

Пусть теперь Е произвольный ориентированный многоугольник. Представим его в виде F = E + F2, где F — ориентированный треугольник (рис. 243). По свойству 2° Ц F ]| > |[ F ]|, а по доказанному |[ F ]| > 0, поэтому |[ F ]| > 0. ?

Из формулы (4) мы заключаем, что при замене ориентации многоугольника на противоположную его характеристика меняет знак, но абсолютная величина характеристики не меняется. Поэтому, учитывая свойство 3°, приходим к утверждению:

  • 4°. Любой многоугольник можно ориентировать так, чтобы его характеристика была положительной.
  • 3. Рассмотрим множество М всех многоугольников на евклидовой плоскости. Говорят, что установлено измерение площадей многоугольников, если определено отображение S : М -» R*, удовлетворяющее следующим аксиомам:
  • 1) если многоугольники Fи F'равны, то S (F) = (S(F');
  • 2) если F= F + F2, то S (F) = S (F) + S (F2);
  • 3) S (P0) = 1, где P0 квадрат, построенный на единичном отрезке как на стороне.

Положительное число S (F) называется мерой или площадью многоугольника F, а квадрат Р0 — единичным квадратом.

По аналогии с теорией измерения отрезков мы должны доказать, что в евклидовой геометрии всегда существует отображение S : М —» R*, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, причем если выбран единичный отрезок, то это отображение единственное.

Докажем сначала теорему существования площади многоугольника.

Теорема. Отображение S: М —> R* по закону

удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3 измерения площадей.

я 1. Докажем, что если F= F, то S(F) = S(F'). Так как F= F то существует движение, которое многоугольник F переводит в многоугольник F. По теореме 1 § 41 ч. I это движение может быть задано двумя ортонор- мированными реперами R и R'. Если Аь yt), А22, у2),..., Ап (хп, уп) — вершины многоугольника F в репере R, то по той же теореме А[ь у{), А222),..., А'п (х„,уп) — вершины многоугольника/”в репере R'. Поэтому по формуле (5) получаем [ F ] = [ F ], следовательно, S (F) = S (F);

  • 2. Докажем, что если F= Fx + F2, то S (F) = S (Fx) + S (F2). Многоугольник Сориентируем так, чтобы [F > 0 (п. 2, свойство 4°). Затем введем на многоугольниках Fx и F2 ориентации, согласованные с ориентацией многоугольника F. Тогда F = F + F2. Докажем, что
  • 1 По свойству 3° |[ F ]| > 0, поэтому в данном отображении многоугольнику соответствует положительное число.

Пусть M0Mh..Mk ломаная, которая разбивает многоугольник F на многоугольники F и F2, a Ro, R, ..., Rk — радиус-векторы вершин этой ломаной. Вершины многоугольника F = Л1Л2...Лп обозначим так, как показано на рис. 244, а их радиус-векторы — через п, п, гп. На этом рисунке А — М0 — Лп и AsМк Д.+1.

Рис. 244

По определению имеем:

Сложив эти равенства и учитывая свойство (2), получаем:

Так как М0 точка отрезка АхАп, то Ro = ri + ^Гп . Поэтому _ — ____

Ro °n +rn °Ro =rn °г. Аналогично rs °Rk + Rk °rs+i =rs °rs+i. Таким

образом, равенство (7) доказано.

Так как [ F ] > 0, то [ F > 0 и [ Fi ] > 0. В самом деле, если допустить, например, неравенство [Fi ] < 0, то из равенства (7) получаем [ F ] < [Fi], что противоречит свойству 2°, п. 2. Таким образом, из равенства (7) получаем S(F) = S(Fi) + S(F2).

3. Пусть Р0 = OAiA2A3 — квадрат, построенный на единичном отрезке. В системе координат ООА1ОА2 вершины квадрата Ро имеют координаты 0(0, 0), Ах(1, 0), А2(0, 1), А3( 1, 1). По формуле (5) получаем [ Ро ] = 2, поэтому S(P0) = 1. ?

Из доказанной теоремы следует важный вывод: существует хотя бы одно отображение S : М —» R*, удовлетворяющее аксиомам 1, 2, 3.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >