ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ И ОБЪЕМ

Длина отрезка. Теорема существования

  • 1. Обозначим через L множество всех отрезков, а через R* множество всех положительных чисел. Говорят, что установлено измерение отрезков, если определено отображение /: L —> R*, удовлетворяющее следующим аксиомам:
  • 1) если отрезки АВ и А 'В'равны, то / (АВ) = 1(А'В');
  • 2) если А —В —С, то / (АВ) + / (ВС) = / (АС);
  • 3) существует отрезок PQ, такой, что / (PQ) = 1.

Отрезок PQ (и любой равный ему отрезок), удовлетворяющий аксиоме 3, называется линейной единицей или единичным отрезком. Положительное число / (АВ) с указанием линейной единицы называется мерой или длиной отрезка АВ. Допуская вольность речи, длиной отрезка АВ часто называют число / (АВ), не указывая каждый раз линейную единицу (если, конечно, это не приводит к недоразумениям).

Наша ближайшая задача заключается в том, чтобы доказать, что в абсолютной геометрии или в любой другой теории, где выполняются аксиомы абсолютной геометрии, аксиомы 1, 2 и 3 единственным образом определяют длину каждого отрезка. Точнее, мы должны доказать, что всегда существует отображение /: L —» R*, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3, притом если выбран единичный отрезок PQ, то это отображение определяется единственным образом.

2. В некоторых теориях задача измерения отрезков (т.е. существование отображения /: L —» R*, удовлетворяющего аксиомам измерения) имеет очень простое решение. Например, в теории T"(EW) мы уже вводили длину отрезка (см, § 83, п. 3). При этом, как следует из теоремы 1 § 83, выполняются все три аксиомы, сформулированные выше. В теории <^"(ЕР), как было отмечено в § 84, существование длины отрезка непосредственно вытекает из аксиомы III ь Однако в теориях Л?н), <Г(?а), Г(1л) задача измерения отрезков решается не так просто.

Докажем, что в абсолютной геометрии при выбранном единичном отрезке PQ существует отображение /: L —>• R*, удовлетворяющее аксиомам 1, 2 и 3. Для этого воспользуемся способом, который мы обычно употребляли на практике для измерения отрезков.

Пусть АВ — произвольный отрезок, a PQ — выбранный единичный отрезок. Мы сейчас опишем процесс, с помощью которого определяется действительное положительное число а, являющееся длиной отрезка АВ. Этот процесс называется измерением отрезка АВ. При этом мы будем пользоваться представлением положительного числа в виде двоичной дроби: а = п, пхп2..., где п — целое неотрицательное число, а каждое из чисел пь пъ... равно 1 или 0. Мы предполагаем, что дробь, выражающая число а, может быть как конечной, так и бесконечной.

На луче АВ отложим последовательно отрезки АА, АХЛ2, ..., равные отрезку PQ. Если одна из точек — точка А„ совпадает с точкой В, то будем считать, что а = п. Если же ни одна из точек Аь А2,... не совпадает с В, то по аксиоме Архимеда существуют такие две точки Ап и A„+i, что А„ — В — Ап+1. Пусть Pi — середина отрезка A„An+i} Возможны три случая: а) точка Р совпадает с точкой В б) А„ — В — Р, в) pi — В — An+1. В первом случае будем считать, что а = n, 1 (т.е.

а = п + ^ ), и закончим процесс измерения. В случаях б) и в) запишем

соответственно п, 0... или n, 1... и перейдем к следующему шагу процесса измерения.

Рассмотрим середину Р2 того из отрезков АПРХ или РАп+и который содержит точку В. Пусть, например, В — точка отрезка АПРХ. Возможны три случая: а) точка Р2 совпадает с точкой 5; тогда будем считать,

что а = п, 01 (т.е. а = п + ^), и закончим процесс измерения; бП — В —

Р2; в) Р2ВР. В случае б) или в) запишем соответственно п, 00 или п, 01 и продолжим процесс измерения. Если В — точка отрезка PAn+i, то поступаем аналогично (т.е. если точка Р2 совпадает с точкой В, то считаем, что а = n, 11, а в двух других случаях записываем соответственно п, 10... или и, 11... и переходим к следующему шагу). Продолжая этот процесс, приходим к определенному числу а.

Таким образом, мы построили конкретное отображение g: L —>• R*, при котором каждому отрезку АВ ставится в соответствие число# (АВ), полученное в результате его измерения.

3. Докажем, что отображение g : L -» R* удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3 п. 1.

Выполнение аксиомы 3 очевидно, так как, применяя описанный выше процесс к измерению единичного отрезка PQ, получаем число 1, т.е. g(PQ) = 1. Ясно, что если отрезки АВ и А В 'равны, то g{AB) = g(A 'В').

1 Здесь для удобства дальнейшего изложения мы несколько отклоняемся от обычного способа измерения отрезков, где отрезок А,А„+ делят не на 2 равные части, а на 10 равных частей.

В самом деле, система точек на двух лучах АВ и А'В', полученная в процессе измерения отрезков АВ и А'В', имеет одинаковый порядок расположения и отрезки с концами в соответствующих точках равны, поэтому в полученных двоичных разложениях g(AB) = п, пхп2... иg(A'В') = п',пп'2... имеем п = п пх=п и т.д. Отсюда следует, что g(AB) — g(A В').

Остается доказать, что выполняется аксиома 2. Для этого рассмотрим два вспомогательных предложения.

1 °. Если АВ' < АВ, тоg(AВ') < g(AВ).

я Отложим на луче АВ отрезок АС, равный отрезку А В'. Так как Л В'< < АВ, то АСВ. Из самого процесса измерения отрезков следует, что g(AC) < g(AB). Так как АС = А В', то g(AQ = g(A В'). Таким образом, g(AB') < g(AB). я

Если PQ — единичный отрезок, — его середина, S2 середина отрезка PSb S2 середина отрезка PS2, ...,Sn середина отрезка PSn_b

то отрезок PSn будем называть -й частью отрезка PQ.

2°. Пусть PQединичный отрезок, a EF — отрезок, в котором ^ -я

часть отрезка PQ укладывается к раз, где кпроизвольное натуральное

к

число. Тогда,? (ЕЕ) =

я Сначала рассмотрим случай, когда — < 1. На луче ЕУ7 отложим последовательно отрезки ЕМХ, ММ2,..., Мк_х, Мк, равные отрезку PSn (PSn — — я часть отрезка PQ). Так как отрезок /^„укладывается в отрезке EFk раз, то точка Мк совпадает с точкой F. Тогда, очевидно, имеем:

Продолжая процесс измерения отрезков ЕМХ, ЕМ2, ..., получим: g(EMk)=-^, т.е. g(EF) = E к к

Рассмотрим теперь случай, когда — >1. Если — — целое число,

то тогда в отрезке ЕЕ

к

отрезок PQ укладывается — раз, поэтому g(EF) =

к к

= —. Если же — не является целым числом, то его представим в виде:

к

где т — целая часть числа —, а 5 — натуральное число, 5 < 2".

В этом случае на отрезке ЕЕ существует такая точка М0, что в отрезке ЕМо отрезок PQ укладывается т раз, а в отрезке MqF отрезок PSn — s раз. На луче M0F отложим последовательно отрезки М0МХ, МХМ2, ..., Ms-Ms, равные отрезку PSn. Очевидно, точка Ms совпадает с точкой Е.

к 1 2

Аналогично случаю — < 1 имеем: g (ЕМХ) = т + —, g (ЕМ2) = т + —,

..., g(EMs) = т + ^, т.е. g (ЕЕ) = и

Докажем теперь, что отображение g: L ->• R* удовлетворяет аксиоме 2 измерения отрезков.

Пусть А — В — С, а — g (АВ), b—g (ВС), с— g (АС). Докажем, что а + + Ь =с. Допустим, что а + b ф с, т.е. | а + bс >0. Выберем натуральное

число п больше единицы так, чтобы I а + b — с I > —г. На луче ВА от-

2” 1

ложим последовательно отрезки ВАХ, АХА2, ..., равные отрезку РР„, где РРп — -я часть отрезка PQ. По аксиоме Архимеда существуют точки

АкиАк+ъ такие, что

Аналогично на луче ВС отложим отрезки ВСЬ СХС2, ..., равные отрезку РРп, и рассмотрим точки Cs и Cs+i, такие, что

Тогда очевидно,что

По свойству 1° из неравенств (1) и (2) получаем:

к. к 1 s ^ _|_ 1

или, учитывая свойство 2°, будем иметь — < а < — < b <

Отсюда следует, что

Из соотношений (3), учитывая свойства 1° и 2°, получаем:

Из соотношений (4) и (5) следует, что | а + b — с | < Мы пришли к противоречию, следовательно, а + b = с.

Таким, образом, доказана следующая теорема существования длины в абсолютной геометрии.

Теорема. При любом выборе единичного отрезка PQ существует отображение g : L —> R+, удовлетворяющее трем аксиомам измерения отрезков, примем g(AB) есть число, полученное в результате измерения отрезка ЛВ.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >