Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского

1. В этом параграфе мы докажем непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского, состоящей из четырех групп Ii_3, II1_4, IIIi_5, IVj_2 аксиом Гильберта (аксиомы абсолютной планиметрии) и аксиомы V* Лобачевского. При решении этой задачи предполагается, что евклидова геометрия (т.е. система аксиом 2Н Гильберта) непротиворечива. Мы построим из объектов евклидовой плоскости модель плоскости Лобачевского, которая называется евклидовой моделью Кэли — Клейна. Рассмотрим на евклидовой плоскости некоторую окружность со с центром О радиусом г = 1 и назовем ее абсолютом. Обозначим через Г2 круг с границей со, а через О множество внутренних точек этого круга.

Введем следующие соглашения. Неевклидовой точкой назовем любую евклидову точку Me О, а неевклидовой прямой — любую хорду (без концов) окружности со. Отношения «принадлежность» и «лежать между» понимаем в обычном смысле. Неевклидовы прямые будем обозначать так: UV, U,VX и т.д., предполагая, что U, V, UuVxe со. Таким образом, неевклидовыми точками прямой UVбудут те и только те евклидовы точки, которые лежат между точками Uи К

Нетрудно убедиться в том, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы 1^3,11^4 Гильберта. Проверим в качестве примера аксиому Иг (см. § 71). Пусть А и В — две неевклидовы точки, a UV — неевклидова прямая, на которой они лежат. Так как А и В — внутренние точки хорды UV, то на этой хорде существует хотя бы одна внутренняя точка С, такая, что А — В — С. Отсюда мы заключаем, что существует по крайней мере одна неевклидова точка С, такая, что неевклидова точка В лежит между неевклидовыми точками А и С.

Так как в построенной модели выполняются все аксиомы групп I, II Гильберта, то выполняются и все следствия из этих аксиом, в частности имеют место теоремы, с помощью которых вводятся понятия луча и полуплоскости. Ясно, что неевклидовым лучом, исходящим из точки С, является множество всех внутренних точек произвольной полухорды CU окружности со (СU — евклидов отрезок, где С — внутренняя точка круга Q, a U — точка на его границе). Неевклидовой полуплоскостью является множество всех внутренних точек какого-нибудь сегмента круга ГГ

2. Для того чтобы в нашей модели определить равенство отрезков и углов, введем ряд вспомогательных понятий. Напомним, что на евклидовой плоскости простым отношением трех точек А, В и С, лежащих на одной прямой, называется число (АВ, Q = X, такое, что АС = ХСВ, а сложным отношением четырех точек А, В, С, D, лежащих

на одной прямой,— число (АВ, CD) = ^. Из этого определения

непосредственно вытекают следующие свойства.

  • 1°. Если (АВ, CD) = (АВ, CD'), то точки D и D' совпадают.
  • 2°. Для любых четырех точек А, В, С, D прямой имеем (АВ, CD) = = (CD, АВ) = (BA, DC) = (DC, BA).

Если четыре точки на прямой заданы своими координатами Мххх), М22,(у2), М333), М444), то

Одна из этих формул теряет смысл, если данные точки лежат на прямой, параллельной одной из координатных осей.

Биективное отображение/: Q —> О назовем A-преобразованием, если выполнены следующие условия:

  • а) внутренние точки круга О переходят во внутренние точки этого же круга, а граничные точки этого круга — в граничные точки;
  • б) любая хорда окружности со переходит в некоторую хорду этой же окружности, и при этом сохраняется сложное отношение соответственных точек.

Рассмотрим примеры Л-преобразований.

Пример 1. Любое движение евклидовой плоскости, имеющее центр абсолюта своей инвариантной точкой, индуцирует во множестве Q некоторое A-преобразование. В частности, тождественное преобразование множества Q, вращение вокруг центра О круга Г2, отражение от любого диаметра круга Q являются примерами Л-преобразований.

Пример 2. Пусть отображение /: —>• в системе координат Оху

задано формулами

Так как для точек множества Q — 1 < х < 1, то 1 — ах ф 0, поэтому каждая точка множества П имеет образ. Из формул (2) получаем:

Из равенства (3) следует, что точки абсолюта со при отображении/ переходят в точки абсолюта, а точки множества Q — в точки того же множества Q. Далее, из равенств (4) мы заключаем, что каждая точка (х', у') множества Q имеет единственный прообраз (х, у), поэтому отображение (3) является биекцией множества Q.

Отметим, что преобразование/, как показывают формулы (2) и (4), является инволютивным, т.е./-1 =/.

Докажем, что для преобразования/выполняются также условия б). Если точки МХ2, Мъ е О лежат на прямой Ах + By + С = 0, то, используя формулы (4), мы убеждаемся в том, что их образы М[, М'2, M2также лежат на некоторой прямой. Таким образом, если UV — некоторая хорда окружности со, a U'=f(U), V=f (V), то все точки хорды UV переходят в точки хорды U'V. Но так как/-1 =/, то все точки хорды UV переходят в точки хорды UV. Таким образом, хорда UVпереходит в хорду U’V'.

Остается доказать, что преобразование (2) сохраняет сложное отношение четырех точек. Пусть Мхь ух), М22, у2), М23, у3), М44, у4) — четыре точки, лежащие на одной прямой, пересекающей ось Оу, а М(', у';), / = 1,2, 3,4 — их образы. Используя первую из формул (4), находим:

где i,j= 1,2, 3,4, iV/

Отсюда, применяя формулу (1), получаем ХМ2, М2М4) = = (М[М2, М'ЪМ'4). Если точки Л//лежат на прямой, параллельной оси Оу, или на оси Оу, то, используя вторую из формул (4), приходим к тому же выводу.

Итак, доказано, что формулами (2) задано инволютивное А-преобразование.

  • 3. Рассмотрим некоторые свойства A-преобразований. Из определения A-преобразования непосредственно следует утверждение.
  • 1°. Если/и g — A-преобразования, то fg иявляются А-преобра- зованиями.
  • 2°. Любое A-преобразование сохраняет отношение «лежать между» точек круга Q.
  • ? Пусть Л, В,С eDnA — В — С,г.А', В', С— образы этих точек. Обозначим через UV хорду, на которой лежат данные точки, а через U'V образ этой хорды. Если точки А и С являются концами хорды UV (т.е. совпадают с точками Uи V), то А'и С'являются концами хорды U'V'. В этом случае утверждение 2° очевидно. Предположим, что точка U не совпадает ни с одной из точек А и С. Тогда (АС, BU) = (A'C, B'U') или
  • (АС, В) _ (ЛС', В) уак как (ЛС, V) < О, (АС, V) < 0 и по условию (АС, U) (А С, U )
  • (АС, В) > 0, то из последнего равенства следует, что (АС, В') > 0. Это означает, что А' — В' — С. и

Отсюда мы заключаем, что при Л-преобразовании отрезок, принадлежащий кругу Q, переходит в отрезок; в частности, полухорда круга О переходит в полухорду того же круга. Далее, любой сегмент круга О переходит в сегмент того же круга.

Рис. 239

Пусть UV — хорда круга D,AU— полухорда этой хорды, а X — один из сегментов, ограниченный хордой UV. Пару A U, X назовем А-флагом и обозначим через (A U, X). На рисунке 239 изображены два A-флага (AxUb A,i) и (A2U2, Хг). Из предыдущего ясно, что А-преобразование любой A-флаг переводит в А-флаг.

3°. Какова бы ни была внутренняя точка А круга П, существует инволютивное A-преобразование, которое переводит точку А в центр О круга а точку О в точку А.

л В самом деле, пусть ОА = а. Выберем прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка А в этой системе имела координаты А (а, 0). Тогда A-преобразование, заданное формулами (2), переводит точку А в точку О, а точку О в точку А. и

  • 4°. Каковы бы ни были флаги I = (AU, X)wl2 = (A2U2, Xi), существует A-преобразование, которое Д переводит в /2 (см. рис. 239).
  • ? По свойству 3° существуют инволютивные A-преобразования fx и f2, такие, что О = f (А) и О = f22), где О — центр круга Q. Пусть I(=f (1) и /2 =(h)- Рассмотрим A-преобразование/0, такое, что Г2 =/о (1() (/о является вращением вокруг точки О или вращением вокруг точки О с последующим отражением от диаметра круга Г2). Тогда / = /2/0/1 является искомым A-преобразованием, так как / (/) = =//o/i (/) =//о (/;) =/2 (г2)=h • ?

Отсюда, как следствие, получаем утверждение.

5°. Каковы бы ни были полухорды AXUX и A2U2, существует A-преобразование, которое полухорду переводит в полухорду Д2(/2.

Сформулируем еще одно свойство, которое мы приводим без доказательства.

  • 6°. Если A-преобразование какой-нибудь A-флаг переводит в себя, то оно является тождественным преобразованием круга О.
  • 4. В этом пункте для простоты изложения неевклидовы отрезки, лучи, углы, полуплоскости будем называть просто отрезками, лучами, углами, полуплоскостями. Введем следующие соглашения. Будем считать, что отрезок АВ равен отрезку А'В', если существует такое А-преобразование, которое отрезок АВ переводит в отрезок АВ'. Аналогично угол hk считается равным углу h'k', если существует A-преобразование / которое угол hk переводит в угол h'k'(j.e. h'=f(h) и k'=f(k) или k'=f(h) и h'=f(k)).

Заметим, что если Z hk = Z h'k', то всегда найдется такое А-преобразование /', что h' = f'(h), к' = /'(/:). В самом деле, допустим, что равенство Z hk = Z h'k' означает существование такого A-преобразования, что к' — f(h), h' — f(к). Рассмотрим инволютив- ное А-преобразование/, которое вершину угла hk переводит в центр О круга Г2 (свойство 3°). Пусть h =/(/?), к =f(k). Если/2 — симметрия с осью, содержащей биссектрису угла hxkx, то кх =f2(hx), hx =f2(kx). Поэтому /'=#1/2/1 является искомым А-преобразованием.

Покажем, что все аксиомы группы III Гильберта выполнены.

IIIi. Пусть АВ — данный отрезок, отложенный на луче h, a h' — луч, исходящий из точки А'. Докажем, что существует точка В' е h', такая, что А'В' = АВ.

Обозначим через AU и A'U' полухорды круга Г2, на которых лежат лучи hnh',a через UVи UVсоответствующие хорды. Рассмотрим А-преобра- зование/ которое полухорду A U переводит в полухорду AV (свойство 5°). Тогда h '=/(//). Если B'=f(B), то В' е h' и по определению А В' = АВ.

Замечание. В нашей модели на луче h 'существует единственная точка В', удовлетворяющая условию АВ = А'В'. В самом деле, U' = /(?/), V'—f(V), поэтому (UV, АВ) = (U'V, А'В'). Если допустить, что на луче h' существует другая точка В", такая, что АВ = А'В", то аналогично получаем (UV, АВ) = (U’V, А В"). Поэтому (U'V, А'В') = ( U'V, А 'В"). По свойству 1° сложного отношения четырех точек точки В' и В "совпадают.

Ш2. Выполнение этой аксиомы непосредственно следует из свойства 1° А-преобразований.

Ш3. Пусть А — В — С, А'В' — С, АВ = А'В' и ВС = В'С'. Докажем, что АС = А'С'. Рассмотрим полухорды BUX, BU2, B'U(, B'U'2, на которых лежат соответственно точки А, С, А' и С (рис. 240, а). По свойству 5° существует такое А-преобразование /, которое полухорду BU переводит в полухорду B'U[. При этом полухорда BU2 переходит в полухорду В’Щ. Пусть Аг= f (A), C,=f (С).

Рис. 240

Так как ВА = В А'по условию и ВА = В'АХ по построению, то точки А' и А совпадают, т.е. A'=f (А) (см. замечание к аксиоме IIIj). Аналогично доказывается, что точки С'и Q совпадают, поэтому С'=/(С). Таким образом, А-преобразование / отрезок АС переводит в отрезок/! С, т.е. АС = А'С.

Ш4. Пусть даны угол hk и флаг (A', h', X'). Докажем, что существует единственный луч к'а Х такой, что Z hk = Z h'k'. Для этого рассмотрим A-флаги I = (.AU., X) и /'= (AV, X'), которые выбраны так, что h с AU, И' с А'1Г, к а X, X' cz X'. По свойству 4° существует такое А-преобразование/, что /'=/(/). Луч k'=f (к) является искомым, так как к'аX', и по определению равенства углов Z hk = Z h'k'.

Предположим, что к" — луч, удовлетворяющий условиям: Z hk = = Z h'kк"а /'. Тогда, очевидно, Z h'k' = Z h'k", поэтому существует такое А-преобразование/, что h'=f (//'), k"=f (к'). Отсюда мы заключаем, что преобразование/A-флаг /'переводит в себя. По свойству 6° / — тождественное преобразование круга О, следовательно, лучи h'nk" совпадают.

Ills. Пусть в треугольниках АВС и А 'В'С имеем АВ = А 'В', АС = А 'С' и Z ВАС = Z В'А'С'. Докажем, что Z АВС = ZA'B'C'.

Так как Z ВАС = Z В'А'С', то существует такое А-преобразование /, которое переводит луч АВ в луч А'В', а луч АС в луч А'С'. Пусть В = =f(B) и Q =/(С). Так какЛ'=/(Л), то АВ = А'ВХ. Но по условию АВ = = А'В', поэтому точки Вх и В' совпадают, т.е. B'=f (В) (см. замечание к аксиоме IIIi). Аналогично доказывается, что C'=f (С). Таким образом,

Л-преобразование/точки Я, В, С переводит соответственно в точки Я', В', С поэтому Z АВС = Z АВ'С'.

IVi и IV2. Группа IV аксиом Гильберта эквивалентна предложению Дедекинда. Ясно, что предложение Дедекинда выполняется на построенной нами модели, поэтому выполняются аксиомы IVi и IV2 Гильберта.

V*. Возьмем произвольную прямую ?УиточкуЯ, нележащую наней. Рассмотрим прямые UU и W, проходящие через точку Я (рис. 240, б). Эти прямые не пересекаются с прямой UV, так как евклидовы точки U и К не являются неевклидовыми точками прямой UV. Таким образом, имеет место аксиома V* Лобачевского.

5. Таким образом, построив евклидову модель Кэли — Клейна, мы тем самым доказали, что система аксиом Ij_3, IIi_4, IIIi_5, IVi_2, V* непротиворечива, если непротиворечива система аксиом Хн Гильберта. (Непротиворечивость системы аксиом Хн будет доказана далее, в § 83.) Отсюда непосредственно следует, что аксиома параллельных V не зависит от аксиом Ii_3, Hi_4, IIIi—5, IVi_2 Гильберта. Но выше было доказано, что аксиома

параллельных V эквивалентна постулату V Евклида, поэтому постулат V Евклида не зависит от остальных аксиом евклидовой планиметрии.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >