Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом

1. Как было отмечено выше, система аксиом называется непротиворечивой, если существует база, на которой можно задать рассматриваемую структуру рода Т. Чтобы доказать непротиворечивость системы аксиом, достаточно построить какую-либо интерпретацию этой системы аксиом. При построении интерпретации мы должны использовать «достаточно надежные» понятия, относительно которых у нас есть уверенность, что их система внутренне непротиворечива. Только в этом случае можно утверждать, что наша система аксиом Ах, Аъ..., А, внутренне непротиворечива, и, значит, в теории ?Г(Т) мы не получим двух теорем, отрицающих одна другую, как бы далеко мы ни развивали эту теорию.

Если система аксиом Аь Л2, ..., А, противоречива (Т = 0), то она не определяет никакой структуры: не существует, множеств Е, F, G (базы), таких, чтобы какие-либо отношения на них обладали свойствами Аь А2,..., А,. Следовательно, такая система аксиом бесполезна.

Таким образом, система аксиом Аи А3, ..., А„ для которой мы собираемся строить теорию Т(Т), должна быть непротиворечивой. Это важнейшее требование, предъявляемое ко всякой системе аксиом.

Как уже отмечалось выше, вопрос о внутренней непротиворечивости системы аксиом может быть решен только средствами математической логики.

При построении интерпретаций систем аксиом, определяющих структуры, изучаемые в геометрии, мы используем различные числовые множества, считая «наиболее надежными» понятия, взятые из арифметики вещественных чисел. Поэтому при исследовании непротиворечивости системы аксиом Аь А2, ..., А„ не прибегая к средствам математической логики, мы в лучшем случае можем прийти к утверждению такого вида: система аксиом Аь А2, ..., Я, непротиворечива, если непротиворечива арифметика вещественных чисел.

Пример 1. Докажем, что группа I аксиом Гильберта непротиворечива. Для этого построим интерпретацию системы {1ь 12,..., Ig}. Возьмем какое-нибудь множество Q, состоящее из четырех элементов а, Ь, с, d (пусть, например, а, Ь, с и d — различные числа). Точкой назовем каждый элемент этого множества; прямой — каждое из подмножеств, состоящее из двух элементов, т.е. {a, b}, {а, с}, {a, d}, {b, с}, {b, d}, {с, d} — прямые; плоскостью — каждое из подмножеств, состоящее из трех элементов, т.е. {а, b, с}, {а, с, d}, {а, b, d} и {b, с, d} — плоскости. Будем говорить, что точка лежит на прямой (или на плоскости), если соответствующий элемент множества Q принадлежит соответствующему подмножеству. Например, точка а лежит на прямой {а, с}, но не лежит на плоскости {b, с, d). Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что при этих соглашениях выполняются все аксиомы группы I Гильберта.

2. Мы знаем, что система аксиом ? = {ЯЬЯ2,..., А} представляет собой перечень явно сформулированных требований, которым должны удовлетворять отношения Дь Д2,..., Ак на множествах Е, F, G базы.

Пусть система аксиом ? непротиворечива, и, значит, можно строить теорию Т(Т) структур рода Т. Возникает вопрос: все ли аксиомы системы ? необходимы для определения данного рода структур, т.е. нельзя ли число этих аксиом уменьшить, не меняя 77

Пусть А — одна из аксиом системы ?. Аксиома А называется зависимой от остальных аксиом системы ?, если предложение А является логическим следствием из остальных аксиом системы ?. В этом случае аксиома А выполняется, как только выполняются аксиомы системы ?' = ?{Я}. Ясно, что в этом случае любая интерпретация системы ?' является также интерпретацией и системы ? (т.е. ?' определяет то же множество 7).

В системе ? заменим аксиому А ее отрицанием А (не А) и обозначим новую систему аксиом через ?*, т.е. ?* = ?' U {А}. Всякая интерпретация системы ?* служит также интерпретацией и системы ?'. Если аксиома А зависима от остальных аксиом системы ?, то она должна выполняться в интерпретации системы ?*, в которой выполняется и аксиома А. Но любое отношение Д, не может обладать свойствами А и А одновременно. Следовательно, если аксиома Я зависима от остальных аксиом системы ?, то система аксиом ?* противоречива (не существует ее интерпретаций).

Таким образом, чтобы доказать независимость аксиомы А е 1 от остальных аксиом системы 2, достаточно доказать, что система 2* содержательно непротиворечива.

Пример 2. Система аксиом, определяющая структуру абелевой группы, состоит из аксиом Ах — А4 (§ 77, пример 1) и следующей аксиомы:

А5: для любых двух элементов а, b из Е имеем А (я, b) = А (b, а). Докажем, что аксиома А5 независима от аксиом А — А 4.

Для этого достаточно доказать непротиворечивость системы аксиом 2* = {Аи А2, Аз, А4, As }, где As — отрицание аксиомы As.

А5: существует хотя бы одна пара элементов из Е, таких, что А (а, b) ф ф А (b, а).

Непротиворечивость системы 2* следует из того, что существуют некоммутативные группы (например, мультипликативная группа невырожденных квадратных матриц порядка п > 2 над полем R).

Пример 3. Рассмотрим группу I аксиом Гильберта (см. пример 1) и докажем, что аксиома I! не зависит от аксиом 121%. Для этого достаточно доказать непротиворечивость системы аксиом 2* = = {/j, /2, /3, ..., /8|, где 1Х отрицание аксиомы 1Х существуют по крайней мере две точки, через которые не проходит ни одна прямая.

Докажем, что система 2* непротиворечива. Для этого несколько видоизменим интерпретацию, рассмотренную в примере 1. Точки и плоскости интерпретируются так же, как и в примере 1, а прямыми назовем следующие пять подмножеств: {а, с], {a, d}, {b, с}, {b, d} и {с, d). Ясно, что при этом выполняются все аксиомы системы 2*: аксиома выполняется, так как через точки а и b не проходит ни одна прямая; выполнение аксиом I2 — Ь очевидно.

Если аксиома А зависима от остальных аксиом системы 2, то ее можно вычеркнуть из списка аксиом и строить теорию ЦТ), пользуясь лишь аксиомами системы 2' = 2{Д}.

Конечно, желательно иметь такую систему аксиом 2, в которой каждая аксиома независима от остальных. Такая система аксиом называется независимой. В некоторых случаях удается получить такую систему, вычеркивая из данной системы 2 последовательно те аксиомы, которые зависимы от остальных.

Но данная система 2 может быть такой, что для некоторых ее аксиом даже бессмысленно ставить вопрос об их зависимости или независимости от остальных. Так обстоит дело в аксиоматике Гильберта. Нельзя говорить о независимости некоторых аксиом Гильберта потому, что от их содержания зависит ряд других аксиом. Бессмысленно ставить вопрос о независимости аксиомы Паша от всех остальных аксиом, так как для самой формулировки, например, аксиом конгруэнтности мы должны иметь понятия луча и полуплоскости, а эти понятия вводятся на основании аксиомы Паша. Поэтому если мы исключим из рассмотрения аксиому Паша, то некоторые аксиомы группы III не могут быть сформулированы.

Замечание. Если аксиома Л независима от остальных аксиом системы X, то система X* непротиворечива и определяет структуры рода 7*, отличные от структур рода Г, определяемых системой X. Именно с таким случаем мы имеем дело при рассмотрении системы аксиом Гильберта Хн = (I, II, III, IV, V) и системы аксиом геометрии Лобачевского Хл = (Т И, III, IV, V*), где V* — аксиома Лобачевского, которая представляет собой отрицание постулата V. Как будет выяснено позже, обе системы аксиом Хн и ^л непротиворечивы.

  • 3. Пусть дана непротиворечивая система аксиом X, описывающая свойства отношений Дь Д2,..., Ак. Допустим, что существует аксиома Л, которая удовлетворяет условиям:
    • а) аксиома А сформулирована в терминах теории 7“(Х), и, следовательно, она не вводит новых отношений;
    • б) аксиома А независима от аксиом системы X;
    • в) система аксиом X (J {А} непротиворечива.

В этом случае система аксиом X называется неполной (точнее, дедуктивно неполной). Если же такой аксиомы А не существует, то система X называется полной (дедуктивно полной).

Пусть система аксиом X неполная, и, значит, существует аксиома Л, удовлетворяющая указанным ранее условиям а), б), в). По условию в) система аксиом X' = SU {Л} непротиворечива, а так как Л не зависит от аксиом системы X (по условию б)), то непротиворечива и система аксиом Х"= ХЦЛ}. Обозначим через М М"какие-либо интерпретации систем X', X"соответственно. Так как ХсХ'иХсХ", тоМ'и М" являются также интерпретациями и системы аксиом X.

Но в интерпретации М' выполнена аксиома Л, а в М" — А (не Л), и, следовательно, интерпретации М' и М" (системы X) не изоморфны. (Если предположить, что интерпретации М' и М" изоморфны, то мы получим, что основные отношения Дь ..., Ак должны обладать одновременно как свойствами {Ль ..., Л„ Л}, так и свойствами {Л,..., Л„ Л }, что, конечно, невозможно.) Таким образом, если система аксиом X неполная, то для нее существуют неизоморфные интерпретации.

Из определения полной (неполной) системы аксиом следует, что всякая непротиворечивая система аксиом либо является полной, либо неполной. Поэтому если все интерпретации системы аксиом изоморфны (такую систему аксиом часто называют категоричной), то эта система заведомо полная. Но отсюда никак не следует, что если система аксиом дедуктивно полная, то она будет и категоричной.

Мы приходим к такому выводу: чтобы доказать, что данная система аксиом полная, достаточно доказать, что все ее интерпретации изоморфны.

Пример 4. Тот факт, что к системе аксиом Ах — Л4, определяющей структуру группы, можно добавить независимую от этих аксиом аксиому As, которая не вводит новых отношений, и при этом получается непротиворечивая система^ — As (определяющая структуру абелевой группы), дает возможность заключить, что система аксиом АхА4 групповой структуры неполная.

Пример 5. Рассмотрим систему аксиом абсолютной геометрии, т.е. систему 2 = (I,II, III, IV), состоящую из первых четырех групп аксиом Гильберта. Эта система является неполной, так как к ней можно добавить независимую от аксиом этой системы аксиому V параллельности и при этом получается непротиворечивая система 2Н.

Пусть система аксиом 2 непротиворечива и определяет структуры рода Т. Если все эти структуры изоморфны (т.е. система аксиом 2 категоричная), то говорят, что теория Т(Т) однозначна. Если же не все структуры рода Т изоморфны (т.е. система аксиом 2 некатегоричная), то говорят, что теория Т{Т) многозначна. В современной математике нередко встречаются многозначные теории (например, теория групп).

Замечание. Дедуктивную полноту системы аксиом иногда определяют иначе. Пусть система аксиом 2 дедуктивно неполная в смысле данного выше определения. Что можно сказать о предложении А? Из условия а), указанного в определении, мы знаем, что предложение А сформулировано в терминах теории Т(2). Из условия б) следует, что предложение А недоказуемо в теории Т(И) (т.е. его нельзя вывести как логическое следствие аксиом 2). Из условия в) заключаем, что и предложение А (не А) недоказуемо в этой теории.

Говорят, что предложение А опровержимо, если А доказуемо. Мы приходим к такому определению: система аксиом 2 называется дедуктивно неполной, если существует предложение А, сформулированное в терминах теории 7(2), которое недоказуемо и неопровержимо в данной теории.

Если же для всякого предложения А, сформулированного в терминах понятий теории 7(2), оказывается доказуемым либо это предложение, либо его отрицание А, то система аксиом 2 является дедуктивно полной.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >