Гладкие линии

1. Пусть элементарная линия уо определена параметрическими уравнениями

где t изменяется в некотором промежутке I. Линия у0 называется гладкой линией класса Ск, где к — некоторое натуральное число, если функции х (0, у (0 и z (0 имеют в промежутке / непрерывные производные до порядка к включительно, причем в каждой точке t е / должно выполняться условие

(точка над обозначением переменной означает дифференцирование этой переменной по параметру t).

Геометрический смысл условия (2) будет выяснен в следующем параграфе. Аналитически это условие означает, что производные х, у, z не обращаются в нуль одновременно ни при каком значении t из промежутка /.

Пример 1. Уравнения x — t,y — sint,z — 0,t&R определяют синусоиду на плоскости Оху (см. § 49, пример 2). Правые части уравнений синусоиды имеют в R непрерывные производные любого порядка, причем х = 1, у = cos t, z = 0 и условие (2) выполнено. Следовательно, синусоида — гладкая линия класса С°.

Простая линия у называется гладкой класса Ck (k > 1), если у каждой ее внутренней точки Мсуществует такая s-окрестность В (М, s), что пересечение у П В(М, s) — гладкая (элементарная) линия класса Ск.

Нетрудно убедиться в том, что окружность является гладкой линией класса С°. В самом деле, окружность радиуса а в прямоугольной системе координат Oi j имеет параметрические уравнения х = a cos t,y = — a sin t. Ее можно рассматривать как фигуру, заданную в системе координат Oi j к по закону

Ранее было отмечено, что окружность можно покрыть двумя дугами, каждая из которых определяется параметрическими уравнениями

(3), причем для одной дуги t е /ь а для другой — t е /2, где 1Х и /2 — числовые промежутки, покрывающие промежуток 0 < t < 2л. Правые части уравнений (3) имеют в R непрерывные производные любого порядка, причем х = — a sin t, у = a cos t, z = 0 и условие (2) выполнено,

так как х2+у2 = а2 ф 0. Следовательно, окружность — простая гладкая линия класса С°.

2. Пусть уравнения (1) определяют линию у в некоторой области U изменения переменной t. Эта линия называется кусочно-гладкой, если область U можно покрыть не более как счетным множеством промежутков Н, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах этих промежутков требование гладкости может нарушаться).

Пример 2. Фигура, определяемая уравнениями

где а — const > 0, называется обыкновенной циклоидой или просто циклоидой. Она лежит в плоскости Оху и изображена на рисунке 188. Циклоида гомеоморфна прямой линии (это нетрудно установить, ортогонально проектируя ее на ось Ох) и, значит, является элементарной кривой. Но эта линия не является гладкой. В точках t = 2akn (k = 0, ± 1,

±2, ...) имеем х = 0, у = 0, z = 0, и, значит, условие (2) нарушено.

Как показывают уравнения (4), циклоида определена на всей числовой прямой R. Числовую прямую можно покрыть счетным множеством числовых отрезков 1к — [2а (к — 1) л, 2акк], внутри каждого из которых, т.е. в каждом интервале Ik =]2п (А:— 1 )тг, 2акк[, уравнения

(4) определяют гладкую линию. Следовательно, циклоида — кусочногладкая линия.

Рис. 188

3. Пусть уравнения (1) определяют элементарную линию уо при изменении параметра t в некотором промежутке /. Как отмечалось выше, эти уравнения устанавливают определенный гомеоморфизм /:/->• у0 так, что/(/) = уо. Если гомеоморфизм h переводит промежуток / в промежуток Г по некоторому закону т = h(t), где t е I, т е /', то обратное отображение hr1 : /'—» / также является гомеоморфизмом, причем t — h~l(x).

Подставляя выражение t в правые части уравнений (1), получим:

где/йт) = х(/г1(т)),/2(х) =у(Л-1(т)),/3(т) = z{h~)) — сложные функции переменной т, причем х изменяется в промежутке /'.

Обозначим отображение /' —» Ез по закону (5) через g. Как показывает сравнение формул (1) и (5) (где х, у, z — одни и те же),/(/) = #(т), если х = h(t). Отсюда/= gh и g =/• /г-1. Значит, g — гомеоморфизм. Он переводит промежуток /'в линию у0.

Говорят, что функция т = h(t) определяет замену параметра t на линии уо. Таким образом, в общем случае элементарной линии замена параметра в уравнениях (1) осуществляется с помощью гомеоморфизма// : / —» /'. Несколько сложнее обстоит дело в случае гладкой кривой. Прежде всего функция х = h(t) должна быть дифференцируемой в промежутке /. Но этого мало. Так как по правилу дифференцирования сложной функции

то условие (2), которому должна удовлетворять гладкая линия, налагает на функцию т = h(t) следующее ограничение: производная — не об-

dt

ращается в нуль нигде в промежутке /. Кроме того, чтобы линия уо принадлежала по-прежнему (и при новой параметризации) классу Ск, надо потребовать, чтобы функция h(t) имела в промежутке / непрерывные производные до порядка к включительно.

Итак, для гладкой кривой у0 класса Ск, заданной уравнениями (1), где t изменяется в промежутке /, мы считаем допустимой только такую замену параметра h : / —> /', когда функция h(t) имеет в промежутке I непрерывные производные до порядка к включительно, и первая производная ^ во всех точках промежутка отлична от нуля. Рассмотрим пример.

Пример 3. Параболу у = х2 плоскости Оху в пространстве Е3 можно задать параметрически уравнениямих — t,y — t2,z~О, где tизменяется в промежутке 1= R. Парабола — гладкая линия класса О0. Замена параметра т = Е + t является допустимой, так как функция h(t) = t2 + t

имеет непрерывные производные любого порядка и — = Зг2 + 1 ф О

dt

при любом t. Однако замена параметра по формуле x — t2 недопустима, потому что она переводит промежуток / в негомеоморфный ему промежуток /'= [0, оо]. Замена параметра по формуле x — t2 также недопустима. В самом деле, хотя здесь функция t2 имеет в промежутке / непрерывные производные любого порядка и эта замена гомеоморфно

отображает промежуток / на себя, но ^ = 0 при t = 0 е I.

4. Мы знаем, что если в пространстве Еъ задана прямоугольная система координат, то прямую линию (которую мы теперь можем рассматривать как частный случай гладкой кривой) можно задать системой двух независимых линейных уравнений относительно координат х, у, z текущей точки прямой. Естественно, возникает такой вопрос: когда система уравнений

определяет гладкую кривую? Здесь F и Ф — функции от переменных х, у, Z- Ответ на этот вопрос дает теорема о неявных функциях, которую доказывают в руководствах по математическому анализу. Эта теорема состоит в следующем.

Допустим, что G — множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют системе уравнений (7). Пусть М00, Уо, Zo) е G такая точка, что выполняются следующие два условия: а) в некоторой окрестности УМо точки М0 левые части уравнений (7) непрерывны и имеют непрерывные производные первого порядка; б) в самой точке

( f'x f; f;)

Мо ранг t t = 2. Тогда существует окрестность Кл <= УМЛ

I®*

точки Мо, такая, что пересечение Ущ П G является гладкой кривой.

F' F[

Если при этом в точке М0 имеем у z ф 0, то в окрестности VZ,

ф' ф' т°

У Z

систему уравнений (7) можно разрешить относительно у и z- Получим y=Ax),y = g(x).

В математическом анализе доказывают, что функции/(х) и#(х) имеют непрерывные производные первого порядка в соответствующем промежутке I. Следовательно, уравнения х = t, у =f(t), z = git) определяют гладкую линию у0, проходящую через точку Л/0 и лежащую в окрестности Ущ.

В дальнейшем мы будем рассматривать только гладкие линии, необязательно элементарные. При этом мы назовем линию гладкой, если все покрывающие ее элементарные кривые являются гладкими. Например, окружность — гладкая линия.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >