МНОГОГРАННИКИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Геометрическое тело

1. Областью в топологическом пространстве называют непустое открытое связное множество. Область в евклидовом пространстве ?3 называется ограниченной, если существует шар, содержащий эту область. Замыкание ограниченной области называется геометрическим телом. Таким образом, всякое геометрическое тело состоит из своей внутренности (которая и является ограниченной областью) и границы. Границу геометрического тела называют его поверхностью. Геометрические тела различают по виду их границы: многогранники, цилиндры, конусы, шары и т.д.

Примером геометрического тела является замкнутый шар. Сфера, ограничивающая шар,— поверхность этого тела. Сама сфера в ?3 не является геометрическим телом, так как у нее нет внутренности. Открытый шар тоже не является геометрическим телом.

Примером геометрических тел являются также тетраэдры, призмы, пирамиды, цилиндры, конусы, которые изучаются в средней школе. Замкнутое полупространство не является геометрическим телом, так как оно неограничено.

Можно доказать, что произвольные две внутренние точки геометрического тела можно соединить непрерывной линией, целиком состоящей из внутренних точек тела. С другой стороны, любая непрерывная линия (в частности, отрезок), соединяющая внутреннюю точку с точкой, внешней к телу, пересекает его поверхность по крайней мере в одной точке.

2. Выпуклое тело является частным случаем выпуклой фигуры. Фигура называется выпуклой, если она вместе с любыми своими двумя точками А и В содержит и весь отрезок^/?. Так, прямая, открытый круг, открытый и замкнутый шары, тетраэдр — примеры выпуклых фигур. Удобно фигуру, состоящую из одной точки, а также пустое множество считать выпуклыми фигурами. Тогда из определения выпуклой фигуры следует, что пересечение двух выпуклых фигур является выпуклой фигурой. Отсюда мы заключаем, что пересечение конечного числа выпуклых фигур — выпуклая фигура.

В следующей теореме формулируется один из способов построения выпуклых фигур.

Теорема 1. Если F — выпуклая фигура, а Р — не принадлежащая ей точка, то объединение F' всех отрезков РМ, где М пробегает фигуру F, является выпуклой фигурой.

я Возьмем произвольные две точки А и В фигуры F' и докажем, что отрезок АВ целиком принадлежит этой фигуре. По условию теоремы на фигуре F найдутся такие точки А0 и В0, что А — точка отрезка РА0, а В — точка отрезка РВ0. Если точки А0 и В0 совпадают, то точки А и В лежат на отрезке РА0, поэтому фигура F', содержащая отрезок

Рис. 163

РА0, содержит и часть этого отрезка — отрезок АВ.

Рассмотрим случай, когда А0 и В0 различные точки. Так как F— выпуклая фигура, то любая точка М отрезка A0Bq принадлежит фигуре F, поэтому отрезок РМ целиком принадлежит фигуре F'. Но каждая точка отрезка АВ лежит на каком-нибудь из отрезков РМ (рис. 163, а, б), поэтому отрезок АВ целиком принадлежит фигуре F'. Таким образом, F' — выпуклая фигура. ?

Из этой теоремы следует, что конус, изучаемый в средней школе, является выпуклой фигурой.

Другой способ получения выпуклой фигуры основан на применении следующей теоремы.

Рис. 164

Теорема 2. Если F — выпуклая фигура, ар— ненулевой вектор, то объединение всех отрезков ММ', где Мпробегает фигуру F, а ММ' = р, является выпуклой фигурой. Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 1, и мы рекомендуем читателю провести его самостоятельно. Из этой теоремы следует, что цилиндр является выпуклой фигурой. Рассмотрим некоторые свойства выпуклых тел. 1°. Если Авнутренняя точка, а В — внутренняя или граничная точка выпуклого тела F, то любая точка, лежащая между точками А и В, является внутренней точкой тела.

я Так как А — внутренняя точка тела F, то существует окрестность UA точки А, все точки которой принадлежат выпуклому телу Е. Не нарушая общности, можно предположить что UAе-окрестность и В A. Объединение D. всех отрезков ВХ, где X пробегает окрестность UA, является выпуклой фигурой (теорема 1), содержащейся в /’(рис. 164). Каждая точка М, лежащая между точками А и В, является, очевидно, внутренней точкой фигуры Г2, поэтому М — внутренняя точка тела F. я

2°. Любой луч, исходящий из внутренней точки выпуклого тела, пересекает границу этого тела в одной точке.

я Пусть М0 внутренняя точка данного тела У7, а И — замкнутый луч, исходящий из этой точки. Докажем, что пересечение /Т| h есть некоторый отрезок. Действительно, нетрудно заметить, что пересечение FFh является фигурой: а) выпуклой (так как У7 и И — выпуклые фигуры); б) замкнутой (так как F и h замкнуты); в) ограниченной (так как тело — фигура ограниченная). Очевидно, только отрезок является частью луча, которая обладает свойствами а), б), в). Обозначим этот отрезок через М0МХ. Мы утверждаем, что Мх граничная точка тела У7:

: Мх е b7). В самом деле, если предположить, что Мх внутренняя точка тела У7(т.е. Мх е У7), то по определению внутренней точки найдется е-окрестность В (Мх, s) этой точки, целиком содержащаяся во внутренности тела У7. Но тогда на луче h найдутся точки тела У7, лежащие на продолжении отрезка М0МХ за точку Мх. Мы пришли к противоречию с тем, что пересечение Ff]h есть отрезок М0МХ. Значит, Мх и Мх е b (F).

Из свойства 1° непосредственно следует, что все точки, лежащие между точками М0 и Мх, являются внутренними точками тела У7, поэтому луч И пересекает границу /’только в одной точке. ?

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >