Овальная линия второго порядка

В этом параграфе рассмотрим некоторые конструктивные теоремы теории овальных линий второго порядка.

1. Точка Мплоскости, не лежащая на данной овальной линии второго порядка у, называется внутренней точкой относительно линии у, если любая прямая, проходящая через точку М, пересекает линию у в двух вещественных точках. Если же точка М не лежит на линии у и не является внутренней, то она называется внешней относительно линии у.

Из определения следует, что точки, лежащие на касательной и линии у, не могут быть внутренними относительно линии у. Отсюда мы заключаем, что любая точка касательной, отличная от точки касания, является внешней точкой.

Лемма. Точка М (mb mj, т2) является внутренней точкой относительно овальной линии, заданной уравнением

тогда и только тогда, когда т + т + т < 0.

? Пусть М(тх, т2, т3) — внутренняя точка относительно линии (1). Тогда, очевидно, т2 + т - т2 ф 0. Допустим, что т + т - т > 0, и докажем, что при этом предположении прямая MN, где N — точка с координатами (— т2, тх, 0), не пересекает линию у в двух вещественных точках. В самом деле, если записать параметрические уравнения прямой MN в виде (2) § 18, то коэффициенты (4) § 18 имеют вид Ап{23 >0, Л2 — т (—т2) + тт2 0, А222{ >0, поэтому А = АцА22 > 0. Итак, предположение, что т^ +mj-m3 > 0, привело к противоречию, поэтому т2 33 < 0.

Обратно: пусть координаты точки М удовлетворяют условию т 1 ~тз <0- Докажем, что М — внутренняя точка относительно линии (1), т.е. что любая прямая /, проходящая через точку М, пересекает линию у в двух вещественных точках. Возьмем на прямой / точку N(nx, п2, «з) так, чтобы п3 = 0. Такой выбор точки, очевидно, всегда возможен. Тогда коэффициенты (4) § 18 имеют вид АХ1 = тх + т - mj < 0, А22 = «I2 + п2 > 0, поэтому А = АпА22 - Ах2 < 0, и, следовательно, прямая / пересекает линию у в двух вещественных точках. ?

Из этой леммы следует, что точка М (тх, т2, т2) является внешней точкой относительно овальной линии (1) тогда и только тогда, когда

т 2 ~т3 > 0-

Докажем, что через любую точку, внешнюю относительно овальной линии у, проходят две и только две касательные. В самом деле, пусть A (ах, а2, а2) — внешняя точка относительно овальной линии у, заданной уравнением (1), a d — поляра этой точки. Докажем сначала, что прямая d пересекает линию у в двух вещественных точках. Проведем через точку А какую-нибудь прямую так, чтобы она пересекала линию у в двух вещественных точках Мх и М2, и возьмем точку В (Ьх, Ь2, Ьг) на этой прямой, гармонически сопряженную с точкой А относительно точек М и М2 (рис. 29). По теореме 2 § 18 Bed. Если записать параметрические уравнения (2) § 18, приняв точки А и В за исходные точки Р и Q, то коэффициенты (4) § 18 примут вид:

Рис. 29

Так как прямая АВ пересекает линию у в двух вещественных точках, то А = АпА22 — А о < 0. Отсюда, учитывая, что Аи > 0, Ап = 0, получаем А22 < 0. Итак, В — точка, внутренняя относительно линии у. Поэтому прямая d пересекает линию у в двух точках Dx и D2. Касательные dx и d2 в этих точках, очевидно, проходят через точку А (см. рис. 29).

Если предположить, что через точку А проходит еще одна касательная d2 в некоторой точке Z)3 линии у, то эта точка должна лежать на поляре Сточки И, что невозможно, так как прямая d пересекает линию у только в двух точках Dx и D2.

2. Докажем две теоремы, первая из которых называется теоремой Штейнера.

Теорема 1. Даны два пучка с различными центрами Охп02и установлено проективное, но не перспективное отображение / первого пучка на второй. Тогда множество у точек пересечения соответственных прямых этих пучков является овальной линией второго порядка, проходящей через точки 0Х и 02.

и Обозначим через т прямую 0Х02 и рассмотрим прообраз п этой прямой: т =/(п). Отображение/зададим с помощью трех прямых п,т,

I пучка Ох и их образов т, т Г в пучке 02 (§ 14, теорема 3). Так как/ не является перспективным отображением, то прямые п, т, и т' попарно различны, поэтому точки Ox=nf]m, 02=тГт', Ог=п[>т' не лежат на одной прямой (рис. 30). Точка Е = / П/' не лежит на прямых т, т', п, поэтому точки Ох, 02, 03, Е образуют репер, который обозначим через R.

Рис. 30

Запишем уравнение множества у в репере R. Пусть Xь х2, хз) — произвольная точка плоскости, не лежащая на сторонах трехвершин- ника 0i0203. По определению сложного отношения прямых (§ 10, п. 3) (,тп, ЮХ) = (СДОз, ЕХ), а (т'т, 1'02Х) = (О3О1, ^2^2) (относительно обозначений точек и прямых см. рис. 30). На прямой т 'точка Хх в репере Rx = (02, Оз, ?)) имеет координаты (х2, х3) (см. § 3, замечание),

X X

поэтому (020з, Е]Хх) = —. Аналогично (0з0ь ?2^2) = — • Таким об-

х3 хх

разом, (тп, /02^?) — —, (т'т, Г02Х) — —.

х3 Xj

JC JC

Если X & у, то (тп, ЮхХ) = (т'т, Г02Х), поэтому — = —,

*3 X!

ИЛИ

JC X

Если л: е у, то (тп, ЮхХ) ф (т'т, ГО2Х), поэтому — ф —, т.е. коорди-

х1

наты точки Xне удовлетворяют уравнению (2).

Если точка Улежит на сторонах трехвершинника 0Х0202, то ее координаты удовлетворяют равенству (2) тогда и только тогда, когда она совпадает с одной из точек Ох и 02, которые принадлежат множеству у. Таким образом, уравнение (2) является уравнением множества точек у. Этим уравнением определяется невырожденная линия второго порядка, на которой имеются действительные точки, т.е. овальная линия. ?

Касательные к линии (2) в точках О) (1, 0, 0) и 02 (0, 1, 0) имеют уравнения (см. (5) § 18) х2 = 0 и хх = 0, поэтому мы приходим к утверждению.

Следствие. Если/— отображение, указанное в теореме 1, то прямые /{ОхО^ и/-1 (Ох02) являются касательными к линии у соответственно в точках 02и Ох.

Замечание. Если пучки с центрами Ох и 02 перспективны и d — ось перспективы, то множество у общих точек соответственных прямых этих пучков совпадает с множеством всех точек прямых d и Ох02 (рис. 31). Таким образом, и в этом случае у — линия второго порядка, но она распадается на пару прямых.

Докажем обратную теорему.

Теорема 2. Дана овальная линия второго порядка у и на ней две произвольные точки Ох и 02. Каждой прямой ОХМпучка с центром Ох, поставим в соответствие прямую 02М пучка с центром Оъ где М — произвольная точка линии у, не совпадающая с точками Ох и 02. Касательной в точке Ох поставим в соответствие прямую 02Ох, а прямой Ох02касательную в точке 02. Полученное отображение f является проективным, но не перспективным отображением пучка с центром Ох на пучок с центром 02.

Рис. 31

?Возьмем на плоскости репер R = (Ох, 02, 03, Е), где 03 — точка пересечения касательных к линии у в точках Ох и 02, а Е — произвольная точка линии у, отличная от точек Ох и 02 (рис. 32). Пусть = 0 — уравнение линии у в этом репере. Так как Ох е у и 02 е у, то 22 = 0. Учитывая, что прямые х2 0 и X! = 0 являются касательными к линии у в точках Ох и 02, приходим к выводу, что я 13 = 0 и я23 = 0. Таким образом, уравнение линии имеет вид 2я12х1х2 + + а33х3х3 = 0. Точка Е (1, 1, 1) лежит на этой линии, следовательно, 2<712 + йзз = 0- Итак, уравнение линии у в репере R можно записать в виде (2).

Рассмотрим проективное отображение/'пучка с центром Ох, на пучок с центром 02, при котором прямые Ох03, Ох02, Ох, Е переходят соответственно в прямые 02Ох, 0203, 02Е. По теореме 1 соответственные прямые в отображении/'пересекаются на линии, заданной в репере R уравнением (2), т.е. на линии у. Таким образом, отображение/'и есть отображение/ ?

Замечание. Теорема Штейнера позволяет дать геометрическое определение овальной линии второго порядка с помощью проективного отображения одного пучка прямых на другой; обратная теорема устанавливает, что центры этих пучков на овальной линии можно выбрать произвольно.

3. Пусть Ах, А2, А3, А4, А5, А6 шесть точек общего положения, заданных в определенном порядке. Фигура, образованная этими точками и шестью прямыми АХА2, А2А3, АуА4, А^5, А^16, А&4х, называется шестивершинником и обозначается так: А1А2А3А4А5А6. Данные точки называются вершинами, а прямые АХА2,..., А^АХ, сторонами. Стороны АХА2 и Д4Д5, А2А3 и Ау16, Ау44 и А&4Х, называются противоположными. На рисунке 33 изображены шестивершинники А1А2А3А4А5А6 и ВхВ2В3В4В5Вв. Во втором шестивершиннике противоположными являются стороны ВХВ2 и В4В3, В2В3 и В3В^, В3В4 и В(уВх.

Рис. 33

Теорема 3 (теорема Паскаля)[1]. Точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, лежат на одной прямой.

я Пусть вершины шестивершинника 0хАВС02М лежат на овальной линии у. Докажем, что точки О = OxAf]C02, N' = АВГ2М, N = ВС П МОх лежат на одной прямой (рис. 34).

Рис. 34

Пусть/ — проективное отображение пучков с центрами Ох и 02, которое устанавливается согласно теореме 2 линией у. Обозначим через dx и d2 прямые ВС и ВА (см. рис. 34). Отображение/порождает проективное отображение ф : dx d2, в котором каждой точке Хх прямой dx соответствует точка Х2 прямой d2, такая, что прямые ОхХх и 02Х2 пересекаются в точке X, лежащей на линии у, т.е. 02Х2 =/(ОхХх).

Так как ф (В) = В, то ф — перспективное отображение (§ 14, теорема 2). Центром его является точка О, так как точки, обозначенные на рисунке 34 цифрами 1 и 2, переходят соответственно в точки Г и 2'. Но N' = ф (N), поэтому точки N,On Долежат на одной прямой. ? Теорема 4 (обратная теорема Паскаля). Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.

я Пусть ОхАВС02М — данный шестивершинник, а О = 0ХАГС02, N' = ABC2M, N = BCfMOx точки пересечения противоположных сторон, лежащие на одной прямой (см. рис. 34).

Рассмотрим проективное отображение / пучка с центром Ох на пучок с центром 02, которое прямые ОхА, ОхВ, ОхС переводит соответственно в прямые 02А, 02В, 02С. По теореме Штейнера точки пересечения соответственных прямых в отображении / образуют некоторую овальную линию у, на которой лежат точки Оь 02, А, В и С. Докажем, что точка М также лежит на этой линии.

Отображение/порождает проективное отображение (p: dxd2, где dd2 — прямые ВС и ВА (см. рис. 34). Так как В = ф (В), то ф — перспективное отображение с центром О. Но точки О, N и N' лежат на одной прямой, поэтому N' = ср (АО- Следовательно, 02N' = f (OpV), поэтому точка M = OlNf]02N' лежит на линии у. ?

  • [1] Б. Паскаль (1623—1662) — французский математик, механик и физик.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >