МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЯЮЩЕГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСЧЕТА

ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ

Чтобы процесс составления математической модели расчета оптимальной производственной программы предприятия изложить проще и в более доступной форме, рассмотрим его на конкретном примере.

Для изготовления двух видов продукции А и В предприятие расходует три вида ресурсов: сырье, оборудование и труд. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, лимиты ресурсов, на которые рассчитывает предприятие в плановом периоде, и рыночные цены реализации каждой единицы продукции приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Производственные возможности предприятия и цены реализации продукции

Задача администрации предприятия заключается в разработке такой программы выпуска продукции в плановом периоде, затраты ресурсов на которую не превысят имеющихся лимитов, а ожидаемая выручка после продажи выпущенной продукции будет максимальной.

Требуется:

1) составить экономико-математическую модель расчета оптимальной производственной программы предприятия на плановый период;

• 2) применяя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальное решение для составленной модели и дать его экономическую интерпретацию;
• 3) используя положения теории двойственности, найти оптимальное решение двойственной задачи к модели расчета оптимальной производственной программы и привести его экономическую интерпретацию;
• 4) определить функцию предельной эффективности сырья на этом предприятии и функцию зависимости максимальной выручки от затраченного сырья, построить графики этих функций.

Для построения экономико-математической модели заданной производственной ситуации обозначим через х, искомую программу выпуска изделий А, а через х₂ — искомую программу выпуска изделий В.

Тогда производственная программа полностью будет представлена вектором х = (х„ х₂).

Эта программа должна выбираться с учетом объемов имеющихся ресурсов в рассматриваемом периоде.

Суммарный расход сырья на производственную программу, рассчитываемый по формуле 1х, + 2х₂, не должен превысить 40 кг сырья. Отсюда ограничение на расход сырья представится неравенством

Общая загрузка оборудования на производственную программу рассчитывается по формуле 2х, + х_ь и эта загрузка не должна превысить 50 ст.-ч работы оборудования. Отсюда получаем ограничение на работу оборудования:

Суммарные затраты труда на производственную программу рассчитываются по формуле Ijc, + 1х₂, и эти затраты не должны превысить 35 человеко-ч. Отсюда получаем ограничение на затраты труда:

Кроме того, для искомых переменных х_и х₂ должны выполняться граничные условия (или требования неотрицательности), а именно:

Показателем качества выбранной производственной программы является ожидаемая выручка от реализации всех выпущенных изделий. Эту выручку необходимо рассчитывать по формуле

Искомая программа должна максимизировать сумму z, которая также называется целевой функцией, или критерием оптимизационной модели. Символически требование максимизации отражается записью

Представим составленную модель в следующей компактной записи:

Модель (1.1), представленная такой записью ограничений, граничных условий и целевой функции, относится к типу задач линейного программирования. Термин «линейное программирование» объясняется тем, что при подсчете расходов ресурсов на программу выпуска и расчете ожидаемой выручки после реализации всей выпущенной по этой программе продукции используются только линейные функции.

В общем случае задача линейного программирования может быть представлена в так называемой стандартной записи. Известно, что к стандартной записи можно привести задачу линейного программирования (задачу ЛП), данную в любой другой записи, используя для этого специальные правила эквивалентных преобразований. Поэтому во всех дальнейших утверждениях без потери общности под задачей ЛП будем понимать ее стандартную постановку (1.2).