ДОХОДНОСТЬ И РИСК ФИНАНСОВОЙ ОПЕРАЦИИ

Доход и доходность финансовой операции

Финансовой называется любая операция, начальное и конечное состояние которой имеет финансовое (денежное) выражение (оценку) (Р и Р). Одной из главных целей проведения любой финансовой операции является получение максимальной прибыли (Р' - Р), поэтому прибыль представляет собой одну из основных характеристик финансовой операции, наряду с полученным в результате ее доходом (Р). Более точно финансовую операцию характеризует ее доходность (или эффективность) ((Р' — Р)/Р). В условиях детерминированности, рассмотренных в предыдущих главах, доходность составляет вполне определенную величину, зависящую от процентной ставки, уровня инфляции и других факторов, которые предполагались нами известными.

Доходность за несколько периодов

Найдем доходность за несколько периодов, если доходность за каждый период известна. Пусть доходности за последовательные периоды времени t, 1₂, ..., /„ равны соответственно ц_ь р₂, (V Найдем доходность ц за период t = t + /₂ + ... + t„. Здравый смысл подсказывает, что доходность — аддитивная величина, так что р, по крайней мере приближенно, равна сумме доходностей за каждый период р_ь р₂, IV

Ниже получим точное выражение для доходности за суммарный период времени t и увидим, насколько она отличается от интуитивного результата (3.1).

3.1. Доход и доходность финансовой операции • 105

Рис. 3.1. К выводу формулы для доходности за два периода

Рассмотрим сначала два периода /, и t₂. Обозначив стоимость актива в моменты времени t = 0,1 = Г_ь t = t₂ через соответственно Р₀, Р_и Р₂ (рис. 3.1), имеем для доходностей за первый (р,) и второй (р₂) периоды следующие выражения:

Доходность р за период t=t_t + t₂ равна

Проведя почленное деление в (3.2) и (3.3), получим

Перенося -1 в левые части, имеем

Перемножив первые два выражения, получим

Правая часть (3.6) равна правой части третьего уравнения в (3.5). Приравнивая их, получим

или окончательно

Обобщая (3.8) на случай «-периодов (рис. 3.2), для доходности р за период / = t + t₂ + ... + t_n имеем

Строгое доказательство формулы (3.9) несложно получить методом математической индукции.

Рис. 3.2. К выводу формулы для доходности за несколько периодов

Отметим, что доходность за «-периодов не зависит как от длительности составляющих периодов, так и от периода t.

Полученный результат для доходности за несколько периодов полностью аналогичен полученному нами ранее результату для темпа инфляции за несколько периодов.

Для равных доходностей за отдельные периоды pi = ц₂ ⁼ ••• ⁼ Р« (при этом промежутки времени могут оставаться произвольными и не равными друг другу) имеем

Проанализируем отличие полученных результатов (3.9) и (3.10) от интуитивного выражения (3.1) и причину этого на примере временного интервала, состоящего из двух периодов.

Пусть доходности за два последовательных периода времени /₂ равны соответственно р_ь ц₂. Тогда по формуле (3.9) доходность р за период 1 = t + t₂ равна

Как видим, отличие от суммы доходностей состоит в появлении перекрестного члена ц_ь р₂. Хотя таковой и является малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с р_ь р₂ при условии, что они малы, на практике необходимо их учитывать.

Синергетический эффект

Здесь, как и в случае темпа инфляции, мы имеем пример синергетического эффекта (т.е. эффект (результат) от двух (нескольких) частей больше аддитивного эффекта (простого суммирования)). Ответствен за синергетический эффект, как и в случае темпа инфляции, появляющийся перекрестный член р_ь ц₂. Он приводит к тому, что доходность за два последовательных периода времени t = t_l + t₂ оказывается больше суммы доходностей.

3.1. Доход и доходность финансовой операции • 107

Пример 3.1. Пусть доходности за два последовательных периода времени t, t₂ равны 20 и 30% соответственно. Тогда по формуле (3.11) доходность р за период t = t + t₂ равна

т.е. 56%. Таким образом, отличие от суммы доходностей составляет 6%.

Пример 3.2. Доходность актива за год р равна 20%. Требуется найти доходность актива за квартал р, при условии ее постоянства.

Применим формулу

Имеем

окончательно р, = j^l + p -1.

Подставив в эту формулу р = 20% = 0,2, п = 4, получим для квартальной доходности

Видим, что доходность за квартал оказывается ниже получаемой простым делением годовой доходности на четыре, т.е. 20:4 = 5%. Разница составляет 5% — 4,66% = 0,36%.

Пример 3.3. Решим обратную задачу. Пусть доходность актива за месяц р, равна 2%. Найти доходность актива за год р при условии, что месячная доходность в течение года постоянна.

Применим формулу

Подставляя сюда р = 2% = 0,02, п = 12, получим для годовой доходности

Оказывается, доходность за год выше получаемой простым умножением месячной доходности на двенадцать, т.е. 2% • 12 = 24%. Разница составляет 2,8%.

По двум последним примерам можно заключить, что, во-первых, доходность за суммарный период превышает сумму доходностей за составляющие периоды; во-вторых, доходность за составляющий период меньше соответствующей ему доли доходности за суммарный период.