Закон изменения импульса

Импульс (количество движения) частицы массы 6т равен w'8/и, а его изменение при движении частицы в силу закона сохранения массы (10.71) — у/6т =6т^. Поэтому закон изменения импульса частицы dt dt

имеет вид второго закона Ньютона:

где F¹’ — сумма внешних сил, приложенных к частице. Сила F^e обусловлена силами межмолекулярного взаимодействия, которые проявляются в тонком поверхностном слое и называются поверхностными, а также силовыми полями, которые воздействуют на все молекулы, находящиеся в частице, и называются массовыми (объемными).

Чтобы найти эту силу, мысленно выделим в жидкости А (рис. 10.5) частицу В в виде объема 6V . На поверхности тела В выделим элементарную площадку 6а , ориентацию которой задает внешняя к рассматриваемому телу нормаль п. Со стороны жидкости А на элемент 6а действует элементарная поверхностная сила 6Fⁿ. Суммарная поверхностная сила, приложенная ко всей поверхности Да тела В , будет равна a. Массовая сила 6F^m = f8m, где f массовая сила, при-

Л<т

холящаяся на единицу массы.

Рис. 10.5. Силы, действующие на элементарную частицу жидкости

Таким образом, сумма внешних сил, приложенных к частице

Предполагается, что поверхностная сила выражается через напряжение t в виде 6Fⁿ = t6a = Т • пба, где Т = е,е_у — тензор напряжений (см. (10.44) и (10.64). Выражение (10.76), учитывая формулу Остроградского, приобретает вид

Если кроме рассмотренных распределенных сил к объему 6F приложены еще силы, например, сосредоточенные, то их следует добавить в правую часть этого равенства.

Из выражений (10.75) и (10.77) найдем уравнение движения в векторной форме:

Так как

то проектируя (10.78) на ось /,получим уравнения движения в виде

Подставив выражение (10.65) для тензора напряжений в уравнения движения (10.79) после приведения подобных членов придем куравнениям Навье— Стокса:

Умножив на орт е, левую и правую части (10.80), получим векторный вид уравнения Навье—Стокса

При написании последнего выражения использовались математические определения (10.6), (10.7) и (10.10).

Отметим, что соотношение (10.46) при у = w позволяет представить закон сохранения импульса (10.78) в виде

row d(w8m/8V)

где —— = —-- — скорость изменения импульса в единице объема,

д/ 8t

а тензорная величина р ww = р w, w_j е,е_у характеризует импульс в единице объема, который переносится конвективным движением.

Сумму П = T-pww называют тензорной плотностью потока импульса.