Основные уравнения механики сплошных сред

Деформация малой частицы

В процессе движения жидкости (капельной или газа) рассматривается физически бесконечно малая частица. Положение данной физически бесконечно малой частицы в момент времени t задают радиус- вектором ее центра масс г.

Условимся обозначать бесконечно малые перемещения частиц за время dt символом dr, а бесконечно малые отрезки, выделяемые в пространстве в данный момент времени, символом 5г, при этом будем называть dr индивидуальным или субстанциональным приращением, 5г — пространственным приращением радиус-вектора.

Выделенная частица имеет объем 8К = 6х,бх2бх3 и массу 5/и, которые при движении соответственно получают приращения d&V и dbm. Если выделяется элементарная площадка, то она обозначается символом 6а, при этом площадь всей поверхности частицы равна Да.

Бесконечно малое перемещение dr данной частицы, вообще говоря, зависит от г — положения частицы до перемещения и времени t. Поэтому поле скоростей w = w(r, t) данной частицы равно

Индивидуальная или субстанциональная производная, характеризующая изменение во времени некоторой скалярной или векторной величины у = у (г, t) при движении в пространстве со скоростью w частицы, обозначается символом d/dt так, что

В тензорных обозначениях выражение (10.46) записывается в виде

В стационарном случае величина у = у (г) и индивидуальное дифференцирование дает

Выделим в пространстве в данный момент времени отрезок 6г. По аналогии с (10.48) найдем пространственный дифференциал 8у , характеризующий изменение величины у на длине рассматриваемого отрезка:

Пространственное дифференцирование скорости приводит к выражению:

На рисунке 10.3 рассматривается деформация выделенного отрезка 8г жидкой среды. Так как радиус вектор г за время dt получает приращение dr, то радиус вектор г + 8г получит приращение й((г + 8г). Соответственно по прошествии времени dt отрезок 8г займет новое положение и будет равен 8(r + dr), как показано на рисунке. Из выделенного четырехугольника следует:

После раскрытия скобок и сокращений получим

Формула (10.52) указывает на то, что индивидуальное и пространственное дифференцирование можно менять местами.

Из рисунка 10.3 следует, что «новый» вектор 8(r + dr) равен «старому» вектору 8г плюс приращение, которое определяется по формуле (10.52). Формулу для нахождения приращения можно записать в виде

Принимая во внимание выражение (10.50) и умножив левую и правую части равенства (10.53) на орт е(, найдем проекцию приращения на /-Ю ось (/ =1, 2, 3):

Для описания деформаций объемной частицы используют тензор скоростей деформаций D и тензор завихренности D., компоненты которых равны (см. 10.38):

Деформация элемента 8гжидкой среды

Рис. 10.3. Деформация элемента жидкой среды

Тензорное поле скорости Vw согласно (10.37) выражается через его симметричную D и кососимметричную Q части:

Если при деформировании объем частицы остается неизменным и меняется только ее форма, то такие деформации без изменения объема называются сдвигом. Деформация, сопровождающаяся изменением объема, но без изменения формы (каждый элемент объема рассматриваемой частицы при такой деформации остается подобным самому себе) называется всесторонним растяжением (сжатием).

Рассмотрим деформацию малой плоской частицы, взятой в виде квадрата ОАСВ (рис. 10.4) и установим физический смысл тензоров D и П. За время dt в результате деформации квадрат получит вид многоугольника ОА'С'В', при этом предполагается, что поступательное движение отсутствует (dr0 = 0 ) и малы углы скашивания сторон квадрата: ZA'OA = dal, ZB'OB =da2.

Деформация плоской частицы

Рис. 10.4. Деформация плоской частицы

Если рассмотреть пространственный отрезок йг = ОА = (&х1; 0,0), то он получит приращение d(8r) = АА', проекции которого на оси в соответствии с формулой (10.54) равны

Соответственно пространственный отрезок йг = ОВ = (0, 2,0) получит приращение ВВ', проекции которого на оси равны

Выражения (10.57), (10.58) определяют деформации растяжения отрезков вдоль осей и деформации сдвига, происходящие за время dt. Так как углы скашивания сторон квадрата малы, то из соотношений (10.57) и (10.58) следует

1 , 1 f d w2 8 W[ |

Видно, что сумма — dal+da1 )=—--1-- dt = D2Xdt, т.е. вы-

2х ' 2^ dxx dx2

ражается через компоненты тензора скоростей деформаций.

При движении квадрат поворачивается вокруг оси Ох}, как твердое тело, на угол

При этом -= Q2i =(0з угловой скорости вращения частицы

dt

вокруг оси 0*3.

Для объемной частицы деформации растяжения происходят в трех направлениях. Выпишем их в виде

Сложив левые и правые части равенств (10.61), получим

Откуда следует, что скорость относительного изменения объема жидкой частицы в данной точке равна дивергенции вектора скорости в этой точке:

Отметим, что в этой формуле 6F — объем частицы до деформации, а d8V — приращение этого объема в результате деформации. Это приращение связано с понятием механической работы. Приращением объема капельной жидкости в отличие от газа часто пренебрегают, полагая divw = 0.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >