Статистическая динамика линейных импульсных (дискретных) систем

Дискретный сигнал получается из соответствующего непрерывного сигнала квантованием по времени. Период дискретизации Ги определяет интервал времени между соседними отсчетами — ординатами решетчатой функции х[/Ги], получающейся из соответствующей непрерывной в случае t = lTli, При переходе к безразмерному t

времени т = — интервал между соседними отсчетами равен единице

Т.

и вместо непрерывного сигнала х(т) получаем решетчатую функцию х[/Ги].

В случае стационарной случайной функции при выполнении эрго- дического свойства аналогично, как для непрерывной функции, математическое ожидание, дисперсию и автокорреляционную функцию можно найти осреднением по времени, заменив интегралы на дискретные суммы:

На практике длина реализации бывает ограниченной / е (О, N) и поэтому

Согласно способу получения дискретного сигнала из непрерывного, автокорреляционную функцию дискретного сигнала можно получить из автокорреляционной функции непрерывного сигнала Rx(т) заменой т = т, т.е.

Спектральная плотность представляет собой изображение двухстороннего дискретного преобразования Фурье:

Обратно

Отсюда для дисперсии имеем

Это соотношение позволяет интерпретировать спектральную плотность как среднюю мощность дискретного сигнала на интервале [—п, п] в случае нормированного времени, так как согласно (П10.2) дисперсия представляет собой среднюю мощность центрированной случайной функции.

Введем обозначение z = ej<0 (перейдем к преобразованию) и представим (П10.6) в виде

Здесь при представлении двумя бесконечными суммами слагаемое R[0] учтено дважды, что объясняет вычитание в (П10.9) /?[0]. Если в первой сумме сделать замену переменной т = -п, то с учетом четности автокорреляционной функции получим

Так как вторая сумма представляет собой изображение одностороннего ^-преобразования от автокорреляционной функции (т.е. для R[m] = 0 при т < 0 ), а первая сумма соответствует сопряженной функции, то

Понятие комплексно-сопряженной функции здесь является условным, так как имеется в виду преобразование Фурье, причем z = ej(0 и

- = e~Jw.

z

Формула (П10.11) позволяет определять спектральную плотность по автокорреляционной функции с помощью одностороннего ^-преобразования.

Пример П10.1. В случае автокорреляционной функции

для ее правой половины по таблице одностороннего ?-преобразования находим сте “ -s--— и по формуле (П10.11) имеем

Z-е а

Здесь запись квадрата модуля условна, на самом деле с учетом Z = ejw имеем

Для определения спектральной плотности сигнала на выходе системы с передаточной функцией W* (z) воспользуемся фундаментальной формулой

Путем подстановки Мизеса z = ^ + W перейдем к комплексной пе-

1 - w

ременной ^-преобразования. В этом случае интегрирование по контуру |z| = l заменяется на интегрирование вдоль мнимой оси, так что для (П10.15) вместо (П10.8) получим

Если w = jv, то окончательно получим интеграл типа /я

Пример П10.2. Найдем дисперсию для случайной функции со спектральной плотностью (П10.13), для которой согласно (П10.12) дисперсия уже известна и равна а2.

Имеем

Отсюда

т.е. An(jv) = 40) = (! + «•?“О + 0-0; й„(» = 4(>) = 2а2(1 -О) И0о=1 + е; Cj=l-e”“; 60 =2a2(l-e,_2't).

По формуле интеграла 1Х найдем

что совпадает с известным значением дисперсии а2.

Фильтр используется для получения случайной функции с заданной автокорреляционной функцией и соответственно с спектральной плотностью из белого шума.

Белый шум — случайная функция с постоянной спектральной плотностью. Ее реализации получаются генерированием случайных чисел, некоррелированных друг с другом и имеющих заданный закон распределения амплитуд, в частности нормальный («гауссов шум»).

Передаточная функция формирующего фильтра находится из фундаментальной формулы (П10.15), разрешенной относительно квадрата модуля, равного произведению комплексно сопряженных величин

При этом в качестве W*(z) следует выбрать множитель, соответствующий устойчивой системе, т.е. имеющий полюсы Zt, расположенные внутри круга единичного радиуса.

Пример П10.3. На компьютере генерируется случайная решетчатая функция — реализация белого шума с спектральной плотностью S*(z) = a2 = const, подаваемая на вход формирующего фильтра, на выходе которого нужно получить реализацию случайной функции с экспоненциальной автокорреляционной функцией R т] = ст2е“а^ и соответствующей спектральной плотностью (П10.13).

По (П10.21) находим

Отсюда в качестве передаточной функции формирующего фильтра берем

Характеристическое уравнение D*(z) = z~e~a =0 имеет один корень Zi = е~а, по модулю не превышающий единицы и, следовательно, соответствующий устойчивой системе.

Перепишем передаточную функцию (П 10.23) по отрицательным степеням переменной z

и перейдем к разностному уравнению

I |2

Заметим, что с учетом z =1 выражение (П 10.24) можно записать в виде

что не изменит (П10.22). Выражению (П10.26) соответствует разностное уравнение

отличающееся от (П 10.26) сдвигом аргумента хна один отсчет, что в случае случайной функции не меняет статистических характеристик.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >