Переход от передаточной функции к дифференциальному уравнению

Очевидно, что в обратном порядке можно от передаточной функции перейти к дифференциальному уравнению. Для этого нужно приравнять передаточную функцию, согласно ее определению, отношению изображения выхода к изображению входа, перейти к записи уравнения для изображений в строчку (П6.3.1) и затем от него перейти к уравнению для оригиналов (П6.1.1) или (П6.1.3).

Например, найдем дифференциальное уравнение для передаточной функции колебательного звена с передаточной функцией:

Для этого приравняем передаточную функцию отношению изображений Y(p)/X(p) и перепишем уравнение в строчку:

Теперь перейдем к оригиналам при нулевых начальных условиях. Формально заменим изображения Y(p), Х(р) на оригиналы y(t), x(t)

и переменную Лапласа р = а + ja — на оператор дифференцирова- d

ния р =—: dt

или в классической форме:

Дифференциальному уравнению соответствует характеристический полином

совпадающий с знаменателем передаточной функции. Чтобы записать характеристический полином или характеристическое уравнение по дифференциальному уравнению, надо в его левой части заменить производные соответствующими степенями переменной, причем y(t) заменяется на р° = 1.

Типовые звенья систем автоматического регулирования

По виду передаточной функции или дифференциального уравнения различают следующие звенья [4, 79, 82]:

1. Усилительное (безынерционное):

Размерность коэффициента усиления к определяется размерностями входной и выходной величины. В любом случае (к > 1 или к < 1) звено называют усилительным. Если к < 0, то звено инвертирует сигнал. Однако, как правило, будем полагать, что к > 0, а инверсию сигнала будем учитывать инвертирующим звеном с передаточной функцией W(p) = -1.

2. Идеальное интегрирующее:

Размерность коэффициента усиления [_с-¹ ], а постоянной времени

Т = - [с]. к ^{L J}

3. Идеальное дифференцирующее:

Размерность к = Т [с].

4. Инерционное (апериоди ческое I порядка):

Размерности коэффициента усиления и постоянной времени ано- логичны размерностям в предыдущих звеньях.

Частота сопряжения со₀ = |^с^-1 J определяет полосу пропускания

инерционного звена.

5. Колебательное:

Здесь ?, — коэффициент затухания (демпфирования); со₀ — чд- стота сопряжения.

Корни характеристического уравнения р_х2 =-^со₀ ± у'со₀ yjl-Z,² являются комплексно-сопряженными, что определяет колебательный характер переходного процесса. Отсюда и название звена.

6. Консервативное:

Звено является частным случаем колебательного при % = 0.

В дифференциальном уравнении отсутствует член с первой производной, сответствующий вязкому трению и, следовательно, рассеиванию энергии. Примером консервативного звена является математический маятник (без трения и сопротивления воздуха). Выведенный из состояния равновесия маятник совершает незатухающие колебания. При этом кинетическая энергия переходит в потенциальную и обратно, а сумма энергий остается постоянной величиной.