Обработка результатов экспериментов

Основная цель регрессивного анализа — получить модель, адекватно описывающую поведение объекта. В процессе проведения анализа надо убедиться в чистоте опыта, т.е. в выполнении требований по точности, однородности дисперсии по варьируемому пространству.

Сделаем в каждой точке ПФЭ по т опытов. Найдем оценку дисперсии в каждой точке:

Однородность оценивают по величине jp-отношения | |

5 ы

или применяют критерий Кочрена, используя распределение отношения максимальной дисперсии к сумме дисперсий, т.е.

52тах(у;) / ч ,

g =- 4 ~ ы , к2), где кх число степеней свободы числителя;

2> U)

к2=(т — 1) N — число степеней свободы знаменателя. Критическая область g> gi_atkhic2 (приложение П11.15).

Значимость коэффициентов регрессии оценивается по Г-распре- делению, так как

Соответственно критическая область t>tn

l-—,N-k

2

Адекватность уравнения регрессии проверяется по величине /’-отношения, имеющего распределение Снедокорра — Фишера:

s2 7

/ = -у31 ~ F(N - к, т-), где 5g0C — оценка дисперсии воспроизводи-

S

^ВОС

мости по т измерениям в одной точке. Критическая область проверки гипотезы по /’-отношению / > (приложение ГГ 11.6).

Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте число опытов N=2n. При большом числе факторов реализация ПФЭ практически невозможна. Если априори известно, что эффекты взаимодействия отсутствуют или ими можно пренебречь, то используют дробные факторные эксперименты (ДФЭ), представляющие собой дробные реплики полного факторного эксперимента. Если в ПФЭ наблюдения проводятся во всех вершинах «-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них.

Дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий строго определенную часть ПФЭ. Матрицу ДФЭ называют дробной матрицей планирования (ДМП). Число строк ДМП в общем случае определяется соотношением [3, 85]

где п — число линейных факторов;/? — показатель дробности (число эффектов взаимодействия, принятых за факторы).

Для (п—р) факторов, условно называемых основными, строится матрица ПФЭ, а для р факторов, называемых дополнительными, уровень варьирования в опытах выбирается на основании генерирующего соотношения.

Генерирующее соотношение — это формальное равенство, показывающее, знаки каких основных переменных, стоящих в правой части равенства, необходимо перемножить для получения знака дополнительного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП оказалась ортогональной, нормированной и симметричной. В данном случае имеется одно генерирующее соотношение. В случае трехфакторного эксперимента можно взять за основные факторы хь х2 и выбрать генерирующее соотношение (ГС) X3=x1x2 или х3 = —XiX2. Соответственно можно построить две полуреплики, не имеющие общих строк, как показано в табл. 10.3 и 10.4.

Таблица 10.3

Дробная матрица планирования для генерирующего соотношения х3 =хЪс2

№ п/п

Xi

*2

х3 =XjX2

У

1

-1

-1

+1

У

2

+ 1

-1

-1

У2

3

-1

+ 1

-1

Уз

4

+ 1

+ 1

+1

У4

Таблица 10.4

Дробная матрица планирования для генерирующего соотношения х3 =—х1х2

№ п/п

*1

х2

х3 = х,х2

У

1

-1

-1

-1

У1

2

+ 1

-1

+1

У2

3

-1

+ 1

+1

Уз

4

+ 1

+ 1

-1

У4

В случае, например, четырехфакторного эксперимента вида 24-1 для трех основных факторов хь х2, х3 построим матрицу ПФЭ типа 23 (табл. 10.5).

Таблица 10.5

Дробная матрица планирования для р = 4, р = 1

№ п/п

Xl

х2

х3

Х4=ХрС2

Х[Х4

Х2Х4

1

-1

-1

-1

+1

-1

-1

2

+ 1

-1

-1

-1

-1

+1

3

-1

+ 1

-1

-1

+1

-1

4

+ 1

+ 1

-1

+1

+1

+1

5

-1

-1

+1

+1

-1

-1

6

+ 1

-1

+1

-1

-1

+1

7

-1

+ 1

+1

-1

+1

-1

8

+ 1

+ 1

+1

+1

+1

+1

Для дополнительного фактора х4 воспользуемся генерирующим соотношением х4=Х!Х2. Из таблицы 10.5 видно, что если имеется линейное взаимодействие факторов хщ х4 или х2 и х4, то появляются одинаковые столбцы в матрице плана и коэффициенты регрессии будут определены неправильно.

В случае трех факторов можно выбрать одно из генерирующих соотношений XjX2, XjXj, х2х3 и XjX2x3. Нужно использовать в генерирующем соотношении факторы, не имеющие эффекта взаимодействия. Априори взаимодействие трех факторов менее вероятно по сравнению с возможностью взаимодействия между двумя факторами. Поэтому в случае отсутствия информации следует использовать для назначения четвертого фактора генерирующее соотношение .x^x^. Подробное освещение вопросов, связанных с выбором генерирующего соотношения, определяющим контрастом, разрешающей способностью плана, нелинейной регрессией, планированием эксперимента при поиске оптимальных условий можно найти в [1, 65, 85].

Контрольные вопросы

  • 1. Чем отличаются пассивные и активные планы?
  • 2. Назовите критерии оптимальности планов.
  • 3. Что такое ПФЭ? В чем его достоинства и недостатки?
  • 4. Что такое ДФЭ? В чем его достоинства и недостатки?
  • 5. Что такое генерирующее соотношение? Как его выбрать?
  • 6. Как проверить адекватность полученной модели объекта?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >