ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Общие требования к плану и критерии планирования эксперимента

Различают пассивный и активный эксперимент [3, 81, 85]. В пассивном эксперименте значения факторов х, ..., хк в каждом опыте не зависят от воли экспериментатора, представляют собой «фотографию» явления в фиксированный момент времени. В активном эксперименте значения факторов для каждого опыта экспериментатор может выбрать сам. Правомерен вопрос, как в этом случае задать матрицу плана Х=(Х{,..., Хк), где строки каждого столбца Xj являются значениями фактора в ?,-м опыте, ?,= 1, п.

В качестве критерия оптимальности можно взять, например, ширину доверительного интервала для оценки у по у. Ширина доверительного интервала увеличивается с удалением от средней точки х(.

П _ 2

и уменьшается в целом с увеличением ^[х^-хА . Следовательно,

4=iV

в эксперименте значения фактора нужно задавать на границах интервала варьирования, прогноз у по у нужно осуществлять внутри интервала (интерполировать), а не снаружи (экстраполировать).

В качестве критерия оптимальности возьмем величину дисперсий оценок (Зг, которая равна о2сгп где сгг диагональный элемент ковариационной матрицы С=-S’-1 = (X7Х)~1. В соответствии с выбранным критерием оптимальности задача сводится к выбору такой матрицы X, которая имеет минимальные диагональные элементы ковариационной матрицы.

Если значения факторов выбирать произвольными, то все элементы матрицы С можно сделать одновременно как угодно малыми, так как если Xзаменить на аХ, то С заменится на а~2С, которая стремится к нулю при п->оо. Чтобы исключить этот случай, предположим, что значения факторов можно изменять в ограниченных областях, а именно: наложим ограничения вида

где afj — заданные положительные константы.

Справедлива следующая теорема [42].

Теорема. При ограничении области варьирования вида )2 = я,2 имеют место неравенства Z)[|3(.]> а2 / af и минимум достигается при ортогональности столбцов матрицы X.

В этом случае информационная матрица S = ХтX диагональная, переменные развязаны. Проблема обратной матрицы С=/5'-1 отпада-

ет, и имеем ^[Рг] = т^тг; cov(P/Py) = 0 при i*j; Рг= —г~-

л. г Л. г Л. г л. г

Это не единственный критерий оптимальности. Оптимальный план существенно зависит от конкретных условий (вида модели, стоимости отдельных опытов, области варьирования независимых переменных). Иногда невозможно задать (установить) оптимальный план (например, отлить сплав с точно заданным содержанием присадок в нем или попасть в точно заданные точки мишени), т.е. всегда необходимо иметь программы с решением уравнений для недиагональной матрицы.

Важная характеристика — количество опытов. План с минимальным числом опытов п = к +1 ( +1 с учетом (30) не позволяет проверять адекватность модели (насыщенный план). Поэтому берут ненасыщенный план при п> к +1.

На практике используют следующие виды планов (соответственно критериев):

  • 1. Ортогональный план.
  • 2. Ротатабельный план — дисперсия оценки у в точке х зависит только от расстояния до центра плана от этой точки. Это согласуется с требованием равнозначности (одинаковой точности прогноза) во всех направлениях.
  • 3. А-оптималъный план — матрица C=S~X имеет минимальный след SpC = min (сумма диагональных элементов матрицы минимальна). Диагональные элементы — это дисперсии. Критерий требует минимума средней дисперсии оценок коэффициентов модели.
  • 4. D-оптималъный план — требуется |С = |s-11 = min. План минимизирует объем эллипсоида рассеивания коэффициентов регрессии.
  • 5. G-оптимальный план — обеспечивает наименьшую величину максимальной дисперсии оценки зависимой переменной.
  • 6. Е-оптималъный план — минимизирует максимальное собственное значение ковариационной матрицы С, что соответствует минимизации самой длинной оси эллипсоида рассеивания коэффициентов.
  • 7. Q-оптималъный план — минимизирует среднюю дисперсию оценки величины у (поверхности отклика).

Кроме перечисленных критериев, стремятся уменьшить количество опытов и использовать композиционные планы, позволяющие разделять эксперимент на части, которые можно реализовать отдельно без потери информации.

Выбор критерия зависит от задачи. D-, А-, Е-оптимальные планы желательно использовать при оценке коэффициентов регрессии, aG-и Q-планы — при прогнозе зависимой переменной.

Если матрица плана состоит из х = ±1 и S = ХТX = NI, где I— единичная матрица, т.е. информационная матрица S является матрицей Адамара, то в этом случае план ротатабелен и ортогонален. Кроме того, он D-, G-, А- и ^-оптимален одновременно.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >