Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Информатика arrow Вычислительные и экспериментальные методы научного эксперимента
Посмотреть оригинал

Применение критерия, ограничивающего вероятность противоположных решений

Математическое обоснование критерия (4.2.5) заключается в следующем. Пусть X и Y — независимые случайные величины с плотностями распределения cpx(x) и (р (у). Тогда сумма является случайной величиной Z = X + Y с средним [xz = рх + цу, дисперсией а2 = <з2х + о2у и плотностью распределения

Если Y является аддитивной погрешностью измерений случайной величины X, то в результате опытов получаем независимую «реальную» выборку Z---Zn вместо соответствующей независимой «идеальной» выборки Xj.. п, которую можно было бы получить в случае идеально точных измерений.

Пусть ?, есть некоторая функция идеальной выборки, представляющая собой оценку параметра ?,0 случайной величины X, а г есть аналогичная функция реальной выборки, представляющая собой оценку параметра г|0 случайной величины Z Тогда для уровня значимости а можно построить критические области проверки гипотез

против альтернатив % > ?,0 и г > г|0. Запишем эти критические области в виде

где , г|а — критические значения, соответствующие уровню значимости а.

Границы критических областей разделяют плоскость параметров ц на четыре области N&,N8,NE и N , вероятности попадания выборочной случайной точки (%, р) в которые равны соответственно 9, 5, е и у (рис. 4.1), причем

или е = 5 и s < а, так как вероятности неотрицательны. Соотношение (4.3.5) справедливо, если критические значения гипотез Н и H0z соответствуют одному и тому же уровню значимости. Предположим теперь, что по выполнению неравенства (4.3.4) делается заключение о выполнении неравенства (4.3.3). В области TV9 оба неравенства одновременно не выполняются, в области N — одновременно выполняются. В областях Ns и Nt: выполнение одного неравенства означает невыполнение другого, и наоборот. Следовательно, в этих областях ошибки в суждении о выполнении (4.3.3) по (4.3.4) имеют противоположный характер, а их вероятности в силу (4.2.8) одинаковы, и поэтому решающее правило «гипотеза Н принимается, если принимается гипотеза H0z, и отвергается, если отвергается H0z» обеспечивает тот же самый уровень а при проверке гипотезы о годности продукции по реальной выборке вместо идеальной, которую мы могли бы иметь в случае измерений без ошибок.

При таком решении риск изготовителя не зависит от погрешности измерений, а тот факт, что в 100% случаев будут забракованы не те партии, которые бы были забракованы по результатам точных измерений, не имеет для изготовителя принципиального значения, так как его риск сохраняется. Тем не менее очевидно, что в выборке ц ... Zn содержится меньше информации об истинном значении оцениваемого параметра, чем в выборке ... хп.

Это приводит к уменьшению мощности критерия и увеличению риска потребителя, который, к сожалению, нельзя вычислить из-за незнания распределения негодной продукции. Однако на конкретных примерах можно убедиться, что увеличение риска потребителя не превосходит в. В случае точных измерений 8 = 0, а с ухудшением точности s увеличивается. Одновременно увеличивается риск потребителя. Поэтому вероятность противоположных решений может служить мерой допустимой точности измерений, и мы применим критерий (4.2.5) для проверки гипотез о среднем и дисперсии.

Плоскость переменных х, z

Рис. 4.1. Плоскость переменных х, z

Двухсторонние критические области

Рис. 4.2. Двухсторонние критические области

Если измеряемая случайная величина X и аддитивная ошибка измерений Кимеют нормальные законы АДц^с^) и ЛД0,сф, торезультат измерения Zимеет закон N(^,0^ + <з2) и двусторонние критические области проверки гипотезы о среднем (рис. 4.2) имеют вид

ос _

где иа — критическое значение закона N(0,1) для уровня значимости —; х,

2

Z, cjy, — выборочные средние и их дисперсии.

Совместное распределение выборочных средних х, z является нормальным. Коэффициент корреляции равен

Вероятность противоположных решений е найдем интегрированием совместной плотности по двусвязной области Ne. По результатам численного интегрирования на ЭВМ для различных значений а и А, подобрано аппроксимирующее выражение

с относительной ошибкой не более 1%. При а<0,136 имеем

С целью иллюстрации связи s с риском потребителя (3 рассмотрим стопроцентный контроль изделий по параметру X. Изделие считается годным, если параметр Zнаходится в поле допуска, определяющем доверительную область гипотезы. В случае неточных измерений плотность вероятностей результата идеальных измерений, соответствующая фиксированному значению реального результата Z, равна

Для определения риска потребителя необходимо проинтегрировать (4.3.9) по области |х-цх|>ха, |z — | < za, а поскольку cp(x/z) =

2 2

= q>(x,z)/q>(z), то (4.3.9) дает ф(х,?), и следовательно, в данном примере риск заказчика (3 совпадает с вероятностью противоположных решений s.

Отметим также, что s по (4.3.7) не зависит от объема выборки п. При увеличении п для сохранения а мы уменьшаем доверительную область гипотезы в у[п раз, повышая тем самым точность оценки, но не изменяя е из-за неточности измерений. По критерию (4.2.5) с учетом (4.3.8) получим

Перейдем к проверке гипотезы о дисперсии. Предположим, что качество продукции контролируется по величине выборочной дисперсии. Критические области гипотезы о годности продукции имеют вид

Совместное распределение элементов выборочной матрицы рассеивания в случае исходного нормального распределения величин X и Zjxается плотностью Уишарта [80] (см. также п. 2.3), которую можно представить в виде:

ИЛИ

где I, (ц) — модифицированная функция Бесселя [2],

Распределение (4.3.12) симметрично относительно аргументов, т.е. относительно биссектрисы угла между координатными осями щ, и2. Поэтому в случае одинаковых уровней значимости п1д0П = м2доп и

Интегрированием (4.3.12) по области Nt: (рис. 4.1) составлены таблицы вероятности противоположных решений для различных А,, а и п. Из анализа результатов вычислений следует, что для наиболее употребительных вероятностей а = 1...5% и п< 28 по критерию (4.2.5) имеем

В заключение отметим, что в случае проверки гипотезы о рассеивании к допустимой относительной погрешности измерений предъявляются менее жесткие требования по (4.3.15) по сравнению со случаем проверки гипотезы о среднем по (4.3.10). Поэтому в случае одновременной оценки среднего и дисперсии следует предъявить более жесткие требования по (4.3.10). Эти требования к погрешности измерений в пространстве параметров соответствуют критерию (4.2.5) в вероятностном пространстве. Известный из метрологии критерий допустимой малой погрешности измерений (4.2.1) предъявляет к точности измерений менее жесткие требования, что соответствует менее жестким требованиям в вероятностном пространстве.

Контрольные вопросы

  • 1. Что такое прямая и обратная задачи допусков?
  • 2. В чем заключается двойственность прямой задачи допусков?
  • 3. Назовите критерии допустимой погрешности и охарактеризуйте их.
  • 4. Что такое коэффициенты чувствительности, что они определяют и как находятся?
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы