Нечеткие отношения

Для выполнения нечетких выводов необходимо ввести понятие нечеткого отношения.

Определение. Нечетким отношением R между некоторой проблемной областью, т. е. полным множеством U, и другой областью, полным множеством V, называется нечеткое подмножество прямого произведения UxV, определяемое следующим образом:

Допустим, что существует правило типа «если F, то G», использующее нечеткие множества FczU и G с V, тогда один из способов построения нечеткого отношения из соответствующей области множества Uв области множества Vсостоит в следующем:

Пример. Пусть U= {А, В, С, D} — множество людей, а V = {1,2,3,4} — множество штанг различного веса. Тогда определим следующим образом нечеткие множества: F — множество сильных людей, G — множество штанг большого веса:

Пусть имеется правило вида: если и, — сильный человек, то он занимается штангой большого веса Vj. Тогда можно следующим образом построить нечеткое отношение:

Для построения полноценного вывода необходимо определить не только понятие отношения, но и правило перехода от одного отношения к другому, которое базируется на понятии свертки отношений.

Определение. Сверткой отношений называется правило перехода от одного отношения к другому, т. е. пусть R — нечеткое отношение между областью U и областью V, a S — нечеткое отношение между V и W, тогда нечеткое отношение между UwWопределяется как свертка отношений R и S:

Символ «°» обозначает минимаксную свертку, определяемую для выводов с помощью цепочки правил.

Пример. Пусть задано множество чисел W = [тх, т2, т}, т4,) — мышечной массы различного объема и на нем определено нечеткие множество Н — большой мышечной массы. Множество К = {1,2,3,4}, как и в предыдущем примере, это множество штанг различного веса, на котором определено нечеткое множество F — немаленьких весов:

Пусть есть правило: если Vj — штанга немаленького веса, то она способствует наращиванию большой мышечной массы wk. Тогда в соответствии с формулой (6.1) нечеткое отношение 5 из Кв Жопределя- ется как

Если по формуле (6.2) определить минимаксную свертку с нечетким отношением R из предыдущего примера, то из двух правил: «если и, — сильный человек, то он занимается штангой большого веса v.» и «если Vj — штанга немаленького веса, то она способствует наращиванию большой мышечной массы и>*» можно построить третье отношение — «если Uj — сильный человек, то он может нарастить большую мышечную массу wk». Построенное отношение установлено между множествами VbWкак результат свертки отношений R и S:

из первого выбираются строки, которые последовательно умножаются на столбцы. Сочетание строк 1-го и столбцов 2-го дает 1-й элемент в результате.

Нечеткий вывод

Традиционный дедуктивный вывод (называемый правилом определения) — это вывод Q из Р(факта) по правилу Р -» 0, что записывается как

Это же обозначение используется в случаях нечетких дедуктивных выводов, если знания — это нечеткие множества (F, G, F', G'), а именно, вывод G' из F' по правилу F -*G записывается так:

Эта запись имеет существенную особенность: множества F и F' не обязательно совпадают. Если F и F' близки друг к другу, то их можно сопоставить и получить вывод G' в области их совпадения. Конкретно нечеткие выводы представляются следующим образом.

В первую очередь следует определить нечеткое отношение из правила F ->??. Один из способов — это формула (6.1); если есть цепочка из нескольких правил, то отношение — это свертка из формулы (6.2).

Вывод G' определяется из свертки множества и отношения R.

где f, F' cV,G,G' l,v2,...,vm).

Пример. Пусть, как и в предыдущем случае,

кроме того, пусть F' означает «силач»

при условиях «если и, — сильный человек, то он занимается штангой большого веса Vj» (F —>G), «и, — силач» (/?”).

Из этих правил определим отношение R из t/в области V:

В соответствии с формулой (6.3) определим вывод

По формуле для каждой пары элементов строка из 1-го — столбец из 2-го выбирается минимум, затем из них выбирается максимум, он и заносится в таблицу результата.

, pi 0,9 0,3 0 0

Здесь F =--к--г-н— представлено в виде матрицы

A BCD

[0,9 0,3 0 0].

В итоговой матрице каждый элемент j представляет значение принадлежности Vj множества G'.

_ _ 0 0,1 0,6 0,9

Ответ: «V — это G», где G =- + — + — н--.

12 3 4

Примечание. Невозможно строго упорядочить методы обработки нечетких знаний. Адекватность того или иного метода можно оценивать только по конкретным примерам или благодаря эвристическим знаниям.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >