Релятивистский закон сложения скоростей

Рассмотрим задачу преобразования скоростей, если материальная точка движется в инерциальной системе К' со скоростью и', причем сама система К' движется равномерно относительно инерциальной системы К со скоростью v. Необходимо определить скорость и той же материальной точки в системе К.

Если в системе Сдвижение точки в каждый момент времени 1 определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то

представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и хуz' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'.

Поскольку v = const, то координаты и время при движении материальной точки получают приращения

Разделив первые три уравнения на последнее

dx , dx'

и учитывая, что и= — и и , получим

х dt х dt' J

релятивистский закон сложения скоростей в релятивистской кинематике (общий случай: К' -> К).

Понятно, что при переходе К —» А'' релятивистский закон сложения скоростей запишется в виде

В частном случае, когда материальная точка движется в системе К' вдоль оси х', а К' движется относительно К со скоростью v (оси х и х' совпадают), то и'х = и', а скорость их = и. Тогда закон сложения скоростей запишется в виде

При скоростях v, и и и', малых по сравнению со скоростью с, релятивистский закон сложенин скоростей переходит в закон сложения скоростей в классической механике (см. § 13):

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна. В самом деле, если и' = с, то согласно (63.2):

Аналогично можно показать, что при и = с скорость и' = с .

Если складываемые скорости сколь угодно близки к скорости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай и' = v— с. После подстановки в формулу (63.2) получим и — с. Таким образом, если каждая из складываемых скоростей не превышает с, то и результирующая скорость не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

 
Посмотреть оригинал