Электромагнитные волны

Уравнение электромагнитной волны

Вокруг переменных электрических токов проводимости и токов смещения возникает совокупность взаимосвязанных вихревых электрических и магнитных полей, порождающих друг друга. Эта совокупность представляет собой электромагнитные волны. Напомним, что электрический ток, связанный с упорядоченным движением заряженных частиц внутри макроскопического тела, называется током проводимости J пр.

Понятие тока смещения J ввёл Дж. Максвелл. Током смещения J см он назвал физическую величину, пропорциональную скорости изменения со временем вектора напряжённости Е электрического поля. Ток смещения J см создаёт магнитное поле по тому же закону, что и ток проводимости J пр.

Основные свойства электромагнитного поля, создаваемого системой макроскопических электрических зарядов и электрических токов, описывает система уравнений Максвелла. Она сформулирована Максвеллом на основе обобщения законов для электрических и магнитных явлений, установленных опытным путём, а так же с использованием гипотез о связи электрических и магнитных полей.

Согласно первой гипотезе, изменяющееся со временем магнитное поле, создаёт электрическое поле, а по второй гипотезе - переменное электрическое поле порождает магнитное поле. Такие электрические и магнитные поля - вихревые, линии вектора напряжённости Е электрического поля и линии вектора напряжённости Н магнитного поля замкнутые.

Порождение электрического поля переменным магнитным полем и магнитного поля переменным электрическим полем приводит к тому, что электрические и магнитные поля не существуют обособленно, не зависимо друг от друга. Они связаны между собой неразрывной связью.

Уравнения Максвелла выполняются, если среда является однородным, изотропным диэлектриком, не обладающим сегнетоэлектрическими или ферромагнитными свойствами. Тогда величины г и // не зависят от координат и времени.

Система уравнений Максвелла может быть записана в интегральной и дифференциальной форме. Система уравнений Максвелла в интегральной форме рассматрена в главе 17.

Первое уравнение Максвелла является математической формулировкой закона электромагнитной индукции. Оно читается так: циркуляция вектора напряжённости Е электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна, взятой с обратным знаком, скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.

Второе уравнение Максвелла представляет собой обобщение закона полного тока на случай переменных электрических полей. Из уравнения следует, что циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру L равна полному электрическому току силой У, пронизывающего поверхность S, ограниченную контуром L.

Полный электрический ток равен сумме электрического тока проводимости силой У „„ и электнического тока смешения силой У см

Поток вектора D имеет размерность электрического заряда q,

следовательно, производная вектора D по времени t () должна быть

д t

аналогична электрическому току силой У.

Третье уравнение является обобщением закона взаимодействия неподвижных электрических зарядов (закон Кулона), а именно, поток вектора электрической индукции D через произвольную замкнутую поверхность S, определяется электрическим зарядом q, находящимся внутри этой поверхности (в объёме V, ограниченном поверхностью S).

Четвёртое уравнение выражает экспериментально установленный факт отсутствия магнитных зарядов, аналогичных электрическим. Магнитное поле порождается только электрическими токами. Поток вектора магнитной индукции В через произвольную замкнутую поверхность S равен нулю.

В систему уравнений Максвелла входят формулы, связывающие векторы Е, Н, D, В, /. Связь между ними определяется электромагнитными свойствами среды, её состоянием. Для каждой среды эти соотношения имеют определённый вид.

Смысл введения вектора электрической индукции D состоит в том, что поток вектора D через любую замкнутую поверхность определяется только свободными электрическими зарядами, а не всеми зарядами, находящимися внутри объёма, ограниченного данной поверхностью. Поэтому не рассматриваются связанные (поляризационные) электрические заряды.

Вектор электрической индукции D характеризует электрическое поле. Он равен сумме двух векторов различной физической природы - напряжённости Е электрического поля (характеристики электрического поля) и вектора поляризации Р среды, определяющего электрическое состояние вещества в электпическом поле

где Е0 - электрическая постоянная,

где х - диэлектрическая восприимчивость вещества.

Диэлектрическая проницаемость е вещества пропорциональна х (е ~ х), тогда

Система уравнений Максвелла позволяет определить основные характеристики электромагнитного поля в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники электромагнитного поля. Она так же связывает характеристики электромагнитного поля с его источниками, т. е. с распределением в пространстве электрических зарядов и электрических токов.

Электромагнитное поле в вакууме описывается вектором напряжённости Е электрического поля и вектором магнитной индукции В магнитного поля, зависящими от времени и координат. Векторы Е и В определяют силы, действующие со стороны электромагнитного поля на электрические заряды и электрические токи.

Распределение электрических зарядов в пространстве характеризуется плотностью электрического заряда р (величиной электрического заряда q в единице объёма V, р). Для электрического тока J вводится плотность j электрического тока, равная электрическому заряду, проходящему за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению упорядоченного движения заряженных частиц. Для реальной среды при отсутствии вакуума вводятся вспомогательные величины - векторы D и Н.

Электромагнитное поле неподвижных или равномерно движущихся заряженных частиц неразрывно связано с этими частицами. Когда заряженные частицы движутся ускоренно, электромагнитное поле “отрывается” от них и существует независимо в форме электромагнитных волн. Существование электромагнитных волн предсказал английский физик Фарадей.

Электромагнитной волной называется переменное электромагнитное поле, распространяющееся в пространстве с определённой скоростью. Источниками электромагнитных волн являются - любой проводник, по которому течёт переменный электрический ток, заряженные частицы, движущиеся с ускорением или совершающие колебательное движение, а так же колебательный контур.

В колебательном контуре источниками электромагнитных волн служат переменное электрическое поле конденсатора и переменное магнитное поле катушки индуктивности. В закрытом колебательном контуре электрическое поле сосредоточено между обкладками конденсатора, магнитное поле - внутри катушки индуктивности. Поэтому интенсивность электромагнитных волн, излучаемых закрытым колебательным контуром, очень мала.

В открытом колебательном контуре уменьшаются, как ёмкость конденсатора, так и индуктивность катушки с уменьшением площади обкладок конденсатора, увеличения расстояния между ними и уменьшения числа витков катушки индуктивности.

Колебания поддерживаются за счёт источника ЭДС, подключённого к обкладкам конденсатора. Электрическое поле в этом случае заполняет пространство, окружающее колебательный контур. Увеличивается собственная частота колебаний в колебательном контуре, что способствует увеличению интенсивности излучения электромагнитных волн.

Дж. Максвелл, используя систему уравнений, доказал, что электромагнитные колебания в вакууме распространяются со скоростью, равной скорости света. Электромагнитные волны впервые были получены немецким физиком Г. Герцем в 1888 г., а радиопередачу с помощью электромагнитных волн провёл русский физик А. С. Попов в 1895 г.. Он доложил об этом на заседании физического отделения Русского физико - химического общества 7 мая 1895 г. Этот день считается днём рождения радио.

Итак, из теории Максвелла следует существование

электромагнитных волн. Если в какой - либо точке пространства создать переменное электрическое или переменное магнитное поле, то в окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрических и магнитных полей, передающихся с конечной скоростью от одной точки среды к другой.

В теории упругих волн показано, что распространение одномерной плоской упругой волны вдоль положительного

направления оси о х описывается уравнением

Этот уравнение является решением волнового уравнения

Рассмотрим плоскую одномерную электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси о х. Фронт и волновые поверхности волны представляют собой плоскости. Вектор напряжённости Е электрического поля направлен вдоль оси о у, а вектор напряжённостиНмагнитного поля - по оси од. ВекторыЕНзависят только от одной координаты х.

Выведем волновое уравнение для вектора напряжённости Е электрического поля и вектора напряжённости Н магнитного поля, используя первое и второе уравнения Максвелла. Чтобы упростить вычисления, рисуем контуры в виде прямоугольников (рис.212).

Рис.212

В плоскости х о у выберем бесконечно малую площадку в виде прямоугольника, ограниченную контуром о а в с со сторонами d х, d у, а в плоскости ход- горизонтальную площадку о a d с со сторонами d х, d z. Для всех точек рассматриваемых контуров проведём векторы Е и Н.

Численные значения векторов ?иЯ в угловых точках контуров выразим через их величины в точке О

Вычислим циркуляцию вектора Е по контуру о-а-в-с в указанном направлении (против часовой стрелки), используя первое уравнение Максвелла. На участках о—с и а в контура вектор Е сохраняет своё направление (вдоль оси о у), а на участках о а и в—с вектон Е пенпендикуляпен напнавлению обхода контупа. тогда

В правой части уравнения стоит знак “минус”, так как направление обхода контура противоположно направлению вектора Е и опустили индекс “0”уЕо.

Правая часть первого уравнении Максвелла определяет поток вектора магнитной индукции В магнитного поля через площадку, ограниченную контуром о-а-в-с. Он равен

где В - магнитная индукция магнитного поля, связанная с напряжённостью Н соотношением

Площадка d S, ограниченная рассматриваемым контуром L, мала, поэтому величина вектора В будет одинаковой во всех точках площадки d S.

Подставив в первое уравнение Максвелла формулы (21.1), (21.2) для циркуляции вектора Е и потока вектора В получим

сократим обе части уравнения на d х, d у

Аналогично выводятся формулы для циркуляции вектора напряжённости Н магнитного поля электромагнитной волны по контуру o—a—d—e (рис.212) и потока вектора Е через горизонтальную площадку d S, охватываемую контуром L. Подставив эти формулы для циркуляции вектора Н и потока вектора Е во второе уравнение Максвелла, получим

Соотношения (21.3) и (21.4) представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме, записанные для случая, когда вектор Е направлен по оси о у, а вектор Н— по оси о z. Векторы Е Н зависят от координаты х и времени t.

Продифференцируем уравнение (21.3) по времени Г, а

уцавнение (21.41 - по коондинатех

из уравнений (21.5) и (21.6) следует, что

будут

Сравниваем (21.5) и (21.7). Так как левые их части равны, то равны и правые части

Дифференцируя уравнение (21.3) по времени Г, а уравнение (21.4) - по координате х, получим уравнение для модуля вектора Е

Из сравнения уравнений (21.8) и (21.9) с волновым уравнением, записанным для упругой волны

следует, что вторые производные от модулей векторов Е и Н по времени и координатам связаны между собой уравнениями, аналогичными волновому уравнению для упругой волны.

Поэтому можно сделать вывод, что уравнения (21.8) и (21.9) являются волновыми уравнениями для напряжённости Е электрического поля и напряжённости // магнитного поля.

Волновые уравнения следуют из уравнений Максвелла, записанных для однородной изотропной среды (е = с о п s t, ц = с о п s f) при отсутствии электрических зарядов (р = 0) и электрических токов (/' = О). Решения волновых уравнений (21.8) и (21.9) имеют вид

где Е ма„ Н мах - амплитуды колебаний вектора напряжённости Е электрического поля и вектора напряжённости Н магнитного поля электромагнитной волны, со - круговая (циклическая) частота волны, к - волновое число,

0 - начальная фаза колебаний в точке О (х = 0).

Уравнения (21.11) описывают плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся вдоль оси о х. Вектор Е волны направлен по оси о у, а вектор Л-по оси о z.

Согласно уравнению (21.10), множитель е0- е • ц0- ц, стоящий в

Я2тт Л2F

правой части уравнений (21.8) и (21.9) перед слагаемыми ___

дг ’ <Эг

равен —, ( у — фазовая скорость волны).

v2

Отсюда, фазовая скорость распространения электромагнитной волны равна

Из уравнения (21.12) видно, что скорость v распространения электромагнитной волны зависит от свойств среды, т. е. величины диэлектрической проницаемости е и магнитной проницаемости и.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >