Третье и четвёртое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорему Остроградского - Г аусса, выведенную для электростатического поля. Он предположил, что она справедлива для любого как постоянного, так и переменного электрического поля. В формулу теоремы Остроградского - Г аусса

вместо вектора напряжённости Е электрического поля поставим вектор электрической индукции Д (Е = е0 • е • Д) при е =1, тогда получим

где р - объёмная плотность свободных электрических зарядов.

В правой части третьего уравнения Максвелла интегрирование проводится по объёму V, ограниченному замкнутой поверхностью S.

Согласно третьему уравнению Максвелла, поток вектора электрической индукции D через произвольную замкнутую неподвижную поверхность S определяется величиной

электрического заряда, находящегося внутри этой поверхности, т. е. в объёме V, ограниченном поверхностью S.

Четвёртое уравнение Максвелла выражает, установленный опытным путём, факт отсутствия магнитных зарядов, которые были бы аналогичны электрическим зарядам. Магнитное поле порояедается только электрическими токами.

Четвёртое уравнение Максвелла, записанное в интегральной форме, имеет вид

или

где В„ - проекция вектора магнитной индукции В на нормаль п к площадке d S.

Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток) через произвольную замкнутую неподвижную поверхность S, мысленно проведённую в электромагнитном поле, согласно уравнению (17.95), равен нулю.

Четыре уравнения Максвелла не образуют полной замкнутой системы, позволяющей описать электромагнитное поле при наличии материальной среды. Поэтому необходимо эти уравнения дополнить соотношениями, связывающими векторы Е, Н, D, В и /. Они не являются не зависимыми величинами.

Связь между векторами определяется физическими свойствами среды и её состоянием. Векторы Д и / выражаются через вектор Е, а вектор В - через вектор Н

где Е0 и ц0 - соответственно электрическая и магнитная постоянная,

?, ju- диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, а - удельная проводимость вещества, из которого состоит среда.

Уравнения (17.96) описывают электромагнитные свойства среды. Для вакуума эти уравнения имеют вид

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

ДЛЯ

Максвелла

Запишем полную систему уравнений электромагнитного поля в интегральной форме

Если электрическое поле и магнитное поле - стационарные 3Г) дв

(— = — = — = о), т. е. не изменяются со временем, то уравнения dt dt dt Максвелла примут вид

Из системы уравнений Максвелла следует, если электрическое поле и магнитное поле стационарные, то они существуют независимо друг от друга. Это позволяет изучать отдельно постоянное электрическое поле и постоянное магнитное поле. Источником электрического поля являются электрические заряды, а источником магнитного поля - электрические токи проводимости.

Если считать, что векторы Е, В, D, Н являются непрерывными функциями координат, то рассматривая циркуляцию векторов НЕ по бесконечно малым контурам и потоки векторов BuD через поверхности, ограничивающие бесконечно малые объёмы, можно от системы интегральных уравнений Максвелла перейти к системе дифференциальных уравнений, описывающей электромагнитное поле в каждой точке пространства. Для этого перехода используют две теоремы векторного анализа - теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса.

По теореме Остроградского-Гаусса, поток вектора а, через произвольную замкнутую поверхность S, проведённую в электромагнитном поле, равен интегралу от дивергенции вектора а, взятого по объёму V, ограниченного замкнутой поверхностью S

, _ да да да

где diva = —+ — + —^ ,

дх ду dz.

ax,av,a_- проекции вектора а на оси декартовой прямоугольной системы координат.

По теореме Стокса циркуляция вектора а, вдоль произвольного замкнутого контура L, проведённого в электромагнитном поле, равна потоку вектора ротора a (rota) через поверхность S, натянутую на контур L

где вектор rota выражается в декартовых координатах формулой

Запишем полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Первое уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла

Четвёртое уравнение Максвелла

Уравнения, описывающие электрические и магнитные свойства среды имеют вид

Закон Ома, записанный в дифференциальной форме

Система уравнений Максвелла отражает связь электрических и магнитных полей, взаимно порождающих друг друга. Она позволяет по заданной величине электрических зарядов и электрических токов определить характеристики электромагнитного поля, которое они порождают и наоборот.

Уравнения Максвелла лежат в основе электротехники, радиотехники. Они используются в физике плазмы, ядерной физике, астрофизике и др. Уравнения Максвелла не применимы при больших частотах электромагнитных волн, когда велика роль квантовых эффектов. При рассмотрении волновых процессов в главе 21 ещё раз вернёмся к системе уравнений Максвелла.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >