Второе уравнение Максвелла

В теории постоянного магнитного поля основной является теорема о циркуляции вектора магнитной индукции В по произвольному замкнутому контуру L, её называют так же законом полного тока. Вместо вектора магнитной индукции В используем вектор напряжённости Н магнитного поля. Тогда формула закона полного тока имеет вид

Сила / электрического тока через поверхность S связана с плотностью j электрического тока соотношением

подставим эту формулу в (17.831

В левой части формулы (17.84) стоит циркуляция вектора напряжённости Н по любому замкнутому контуру L, а в правой - алгебраическая сумма электрических токов, проходящих через поверхность S, ограниченную контуром L. Если электрические токи постоянные, то их алгебраическая сумма не зависит от формы поверхности S, так как линии тока будут непрерывными.

Теорема о циркуляции вектора напряжённости Н магнитного поля по контуру L для переменного электрического тока неверна. Второе уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока на случай переменных электрических полей.

В основе второго уравнения Максвелла лежит вторая гипотеза Максвелла: всякое изменяющееся магнитное поле порождается не только электрическими токами, текущими по проводнику, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или в вакууме.

Рис. 148

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока на случай переменных электрических полей. В основе его лежит вторая гипотеза Максвелла: всякое изменяющееся магнитное поле порождается не только электрическими токами, текущими по проводнику, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или в вакууме.

Электрическое поле, изменяющееся со временем, порождает магнитное поле, линии магнитной индукции В которого охватывают линии напряжённости Е электрического поля. Направление вектора

напряжённости Н магнитного поля связано с направлением вектора __

dt

правилом правого винта (рис. 148).

Согласно второй гипотезе Максвелла, магнитное поле порождается не только проводниками с электрическим током, но и переменным электрическим полем. На рис. 149 показан плоский, предварительно заряженный, конденсатор. Соединим обкладки конденсатора проводником, по которому потечёт электрический ток силой ./. Конденсатор начнёт разряжаться.

При разрядке конденсатора величина электрического заряда на обкладках изменяется со временем, и между ними возникает переменное электрическое поле. Электрический ток силой J протекает по проводнику, соединяющему обкладки конденсатора, и не проходит через диэлектрик, находящийся между обкладками. Электрическая цепь не замкнутая.

По теории Максвелла, замкнутость электрических цепей переменного тока обеспечивается электрическими токами смещения JCM.

Рис. 149

Током смещения J Максвелл назвал физическую величину, пропорциональную скорости изменения со временем электрического поля. Ток смещения возбуждает магнитное поле по тому же закону, что и электрический ток проводимости.

Под током проводимости понимают электрический ток, текущий по проводнику. Он связан с направленным движением электронов. Термин “ ток смещения “ не удачный. Он сохранился в силу исторических традиций. Смещение электрических зарядов происходит только в атомах и молекулах диэлектриков. Понятие тока смещения используется при рассмотрении процессов в вакууме, где вообще отсутствуют электрические заряды.

Целесообразность введения понятия тока смещения состоит в том, что два разных источника магнитного поля: ток проводимости и переменное электрическое поле (ток смещения) сводятся, хотя и формально, к одному источнику - полному электрическому току силой J пол

Полный электрический ток силой J пол, равный сумме тока проводимости и тока смещения, определяет магнитное поле, создаваемое им. Плотность j пол полного тока в каждой точке пространства складывается из плотности j пр тока проводимости и плотности j см тока смещения

Итак, полный ток У пол в цепях переменного тока всегда замкнутый. На концах проводника обрывается лишь ток проводимости У пров , а в диэлектрике или в вакууме между концами проводника (в нашем примере между обкладками конденсатора) есть только ток смещения, замыкающий ток проводимости. Ток смещения существует всюду, где электрическое поле изменяется со временем. Он возникает внутри проводников, по которым течёт переменный электрический ток.

В проводнике, соединяющим обкладки конденсатора, протекает ток проводимости и ток смещения, но током смещения можно пренебречь, так как его величина много меньше величины тока проводимости (У см « У пров). Экспериментально существование тока смещения было доказано советским физиком А. А. Эйхенвальдом.

Электрический ток проводимости и ток смещения представляют собой разные физические понятия. Для этих токов общим является то, что они являются источниками вихревого магнитного поля, для которого циркуляция вектора напряжённости Н по замкнутому контуру не равна нулю. При прохождении тока смещения по цепи не выделяется теплота.

Главное отличие тока проводимости от тока смещения заключается в том, что ток проводимости создаётся упорядоченно движущимися заряженными частицами, а ток смещения - изменяющимся во времени электрическим полем.

Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно свойство - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Подставим в формулу (17.84), определяющей циркуляцию вектора напряжённости Н магнитного поля по замкнутому контуру L, вместо тока проводимости силой У полный ток силой У ,ют

Найдём связь между током смещения и переменным электрическим полем, которому он сопоставляется, используя гипотезу Максвелла о непрерывности полного электрического тока (на примере электрической цепи с конденсатором).

Условие непрерывности полного электрического тока в данном примере означает, что электрический ток проводимости на внутренних сторонах обкладок конденсатора непрерывно переходит в ток смещения между обкладками конденсатора, т. е.

Пусть конденсатор заполнен однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. Обозначим площадь пластины (обкладки) конденсатора через S, а электрический заряд на каждой обкладке через q, тогда

где a =CL - поверхностная плотность электрического заряда на S

обкладках конденсатора.

Здесь использовали определение силы J электрического тока.

Напряжённость Е электрического поля между пластинами конденсатора равна

где е0 - электрическая постоянная, е - диэлектрическая проницаемость вещества.

Введём вектор электрической индукции D вместо вектора напряжённости Е электрического поля. Смысл введения вектора электрической индукции D состоит в том, что что поток вектора D через любую замкнутую поверхность определяется только свободными электрическими зарядами, а не всеми электрическими зарядами, находящимися внутри объёма, ограниченного данной поверхностью, подобно потоку вектора Е. Это позволяет не рассматривать связанные (поляризационные) электрические заряды.

Вектор напряжённости Е электрического поля связан с вектором электрической индукции D в изотропной среде соотношением

отсюда или

Из сравнения формул (17.88) и (17.87) следует, что

форме

Запишем формулу для плотности j см тока смещения в векторной

пdD dD

Замена производной по времени — на частную производную —

dt д t

означает, что в правой части формулы (17.90) стоит скорость изменения вектора электрической индукции D (х, у, г) в фиксированной

до

точке пространства. Максвелл назвал производную по времени —

dt

плотностью тока смещения.

Итак, получили, что плотность j см тока смещения в данной точке пространства равна скорости изменения вектора электрической индукции D. Ток смещения J см определяется производной вектора D, а не самим вектором D

Из формулы (17.91) следует, что ток смещения силой J см через произвольную поверхность S, численно равен потоку вектора плотности тока смещения через эту поверхность.

Поток вектора электрической индукции D имеет размерность электрического заряда q, следовательно, производная от вектора D по времени имеет такую же размерность. Так как плотность полного электрического тока равна сумме плотности тока проводимости силой Jnpo и плотности тока смещения силой то с учётом (17.91) имеем

Определим направление векторов JnpoK и ./,,, при зарядке и разрядке конденсатора (рис.150,151). Когда конденсатор заряжается, электрический ток течёт по проводнику, соединяющему обкладки, от правой обкладки к левой.

Положительный электрический заряд левой обкладки и отрицательный электрический заряд правой обкладки конденсатора со временем возрастают. В результате увеличивается напряжённость Е электрического поля в конденсаторе. Вектор D растёт со временем,

т.е.®> 0. dt

Вектор направлен так же как и вектор D от положительно dt

заряженной обкладки к отрицательно заряженной. Поэтому, вектор плотности силой jCM тока смещения направлен в ту же сторону, что и вектор D. Цепь переменного тока замкнута. Между обкладками конденсатора проходит ток смещения, имеющий такое же направление, что и электрический ток проводимости в проводнике.

Рис. 150

При разрядке конденсатора (рис. 151) через проводник,

соединяющий обкладки конденсатора, течёт электрический ток в направлении от левой обкладки к правой. Электрическое поле в конденсаторе со временем ослабевает. Вектор D, как и вектор

Т7 сЮ ^ п и 3D

напряженности Ь уменьшается со временем, т. е. — < 0. Вектор —,

dt dt

а значит и вектор плотности jCM тока смещения направлены противоположно вектору D от отрицательно заряженной обкладки к положительно заряженной.

Рис.151

Итак, полный электрический ток в цепи переменного тока всегда замкнутый. На обкладках конденсатора обрывается ток проводимости, а между обкладками ток проводимости замыкает ток смещения. Подставив значение тока смещения J см в формулу закона полного тока (17.84), получим

или

Формула (17.93) представляет собой второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Согласно уравнению, циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля вдоль произвольного неподвижного замкнутого контура L, проведённого мысленно в электромагнитном поле (сумма скалярных произведений вектора Н в данной точке контура на бесконечно малый отрезок d I контура) определяется полным током через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

Из второго уравнения Максвелла следует, что магнитное поле порождается электрическим током проводимости силой J„poe и

переменным электрическим полем (JCM = Переменное

dt

электрическое поле порождает такое магнитное поле, какое порождал бы электрический ток, плотность которого в каждой точке пространства равна скорости изменения вектора электрической индукции D в этой точке.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >