Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Физика
Посмотреть оригинал

Законы постоянного магнитного поля

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора магнитной индукции для магнитного поля в вакууме)

Чтобы ввести понятие циркуляции вектора магнитной индукции В магнитного поля, напомним вывод формулы, определяющей циркуляцию вектора напряжённости Е электростатического поля вдоль замкнутого контура L.

В электростатике доказывается, что работа сил электростатического поля по перемещению электрического заряда из начальной точки поля в конечную точку не зависит от траектории движения электрического заряда и определяется только положением начальной и конечной точек траектории. Тогда, работа кулоновских сил поля при перемещении электрического заряда q по любому замкнутому контуру L равна нулю

где | - символ интеграла по замкнутому контуру L.

L

Элементарная работа d А равна скалярному произведению вектора силы F на вектор участка контура d I

Сила Кулона F определяется формулой

где Е - напряжённость электростатического поля.

Подставив формулу (17.20) в (17.19), получим

сократим (17.21) на электрический зарядг/, тогда

где Ё -dl - скалярное произведение вектора напряжённости Е электростатического поля в точках, лежащих на контуре, на вектор элемента длины контура d I.

Интеграл вида

называется циркуляцией вектора напряжённости Е

электростатического поля вдоль замкнутого контура L. Величина Et=E-cosa- проекция вектора Е на направление

перемещения, а - угол между векторами Ей dl.

Итак, из формулы (17.21) следует, что циркуляция вектора напряжённости Е электростатического поля вдоль любого замкнутого контура L равна нулю. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным, т.е. электростатическое поле потенциальное. Заметим, что когда электрическое поле создаётся движущимися электрическими зарядами, то циркуляция вектора Е не равна нулю.

Понятие циркуляции вектора магнитной индукции В магнитного поля по замкнутому контуру L вводится аналогично циркуляции вектора напряжённости Е электростатического поля. Циркуляцией вектора магнитной индукции В магнитного поля по замкнутому контуру L называется интеграл вида

где В d I скалярное произведение вектора В, проведённого в точках, лежащих на контуре, на вектор элемента длины контура d I,

В, = В- cos ? dl)- проекция вектора В на направление d I.

Магнитное поле, в отличие от электростатического поля, не является потенциальным. Циркуляция вектора магнитной индукции В магнитного поля вдоль замкнутого контура L отлична от нуля.

Рассмотрим частный случай, когда магнитное поле в вакууме создаётся бесконечным прямолинейным тонким проводником с электрическим током силы J. Линии магнитной индукции магнитного поля, порождаемого электрическим током, текущим по бесконечному прямолинейному тонкому проводнику, представляют собой концентрические окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к проводнику. Центры окружностей находятся на оси проводника.

Рис. 133

Пусть электрический ток направлен от “нас ’’перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 133). В качестве замкнутого контура L выберем окружность радиуса R с центром на оси проводника. Она охватывает проводник с электрическим током силы У. Замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной проводнику. Вектор магнитной индукции В в каждой точке контура одинаковый по модулю и направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку.

Вычислим циркуляцию вектора магнитной индукции В по контуру L

Здесь учли, что В = с о п s t во всех точках контура L, так как вектор В направлен в любой точке контура по касательной, то cos(b-cu)= 1. Подставив в формулу (17.23) значение магнитной индукции В магнитного поля прямолинейного проводника с электрическим током силой У в вакууме, получим

Из анализа формулы (17.24) следуют выводы:

  • 1. Магнитное поле прямолинейного электрического тока - вихревое, так как в нём циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль линии магнитной индукции (замкнутого контура) не равна нулю.
  • 2. Линии магнитной индукции магнитного поля, возникающего вокруг бесконечного прямолинейного проводника с электрическим током силой У, представляют собой окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводнику, с центрами на оси проводника.

Согласно формуле (17.24), циркуляция вектора магнитной индукции В не зависит от радиуса окружности. Тогда можно считать, что циркуляция вектора магнитной индукции В в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции В. Циркуляция вектора магнитной индукции В равна произведению магнитной постоянной ц0 на силу У электрического тока в проводнике.

Формула (17.24) справедлива для замкнутого контура L произвольной формы и для магнитного поля, созданного проводником с электрическим током любой формы и размеров.

Если магнитное поле создаётся системой проводников с

электрическим током силой Jh J2,., J „, то циркуляция вектора магнитной индукции В магнитного поля в вакууме вдоль

произвольного замкнутого контура описывается уравнением

Это уравнение является математическим выражением закона полного тока для магнитного поля в вакууме: циркуляция вектора магнитной индукции В магнитного поля в вакууме вдоль

произвольного замкнутого контура L равна произведению

магнитной постоянной ц„ на алгебраическую сумму электрических токов, охватываемых этим контуром.

а)

Рис. 134 а)

С помощью закона полного тока можно определить магнитную индукцию В магнитного поля, не используя закон Био-Савара-Лапласа, если электрическое поле обладает симметрией и в нём можно провести замкнутый контур L, во всех точках которого Bi = B = const. В этом случае модуль вектора магнитной индукции В

выносится в формуле (17.25) из - под знака интеграла и величину В легко вычислить.

Знак силы У электрического тока каждого проводника определяется по следующему правилу: электрические токи, пересекающие поверхность S, натянутую на контур L, под острым углом (на рис. 134 а, б - электрические токи У; и У?) с нормалью и, берутся со знаком “плюс”.Электрические токи (У2), пересекающие поверхность S под тупым углом с нормалью п берутся со знаком “минус”.

б)

Рис. 134 б)

Предполагается, что направление нормали п и направление обхода контура согласованы друг с другом правилом правого винта: если головку винта вращать в соответствии с принятым направлением обхода контура L, то нормаль п направлена в сторону поступательного движения винта.

Для случая, изображённого на рис. 134, сумма электрических токов, пересекающих поверхность S, равна

Направление обхода контура L выбирается произвольно. Сила У электрического тока в проводнике берётся со знаком “плюс “, если направление электрического тока связано с направлением обхода контура L правилом правого винта.

Если магнитное поле проводника с электрическим током описывается вектором напряжённости Н, то формула закона полного тока имеет вид

Она читается так: циркуляция вектора напряжённости Н магнитного поля в вакууме вдоль произвольного замкнутого контура L равна алгебраической сумме электрических токов, охватываемых этим контуром.

а

Рис.135 а

Для примера рассчитаем магнитную индукцию В магнитного поля внутри бесконечно длинного соленоида. Соленоид - цилиндрическая катушка, на которую равномерно намотан провод. Реальный соленоид, имеющий N витков и длину I можно считать приближённо бесконечным, если диаметр его витков много меньше длины. При прохождении электрического тока силой J по виткам соленоида возникает магнитное поле. Оно полностью сосредоточено внутри соленоида.

Из опытов следует, что магнитное поле вне соленоида очень слабое и его можно не рассматривать (рис. 135). В качестве замкнутого контура L выберем прямоугольник ACflEFG. Сторона АС расположена параллельно оси соленоида, а противоположная сторона FE находится вне соленоида. Длина сторон АС и FE равна I.

Вектор магнитной индукции В равен нулю (В = 0) на участке ДЕРС.. Он направлен перпендикулярно участкам AG и СД. Поэтому циркуляция вектора В по контуру L сводится к интегралу по отрезку ПС.

Вектор В направлен вдоль прямой ПС и по соображениям симметрии одинаков во всех точках прямой ПС, т .е. B/ = B = const

б)

Рис. 135 б)

Из рис.135 видно, что поверхность, ограниченную контуром L пересекают число витков, равное п ? I витков (и - число витков на единицу длины соленоида). Суммарный электрический ток, проходящий через поверхность, ограниченную контуром L, равен произведению J- пI. По закону полного тока имеем

отсюда

Из формулы (17.27) следует, что магнитная индукция В не зависит от положения точки, в которой она определяется. Это значит, что магнитное поле внутри бесконечного соленоида однородное (В = с о п s t). Формула (17.27) справедлива для достаточно длинного соленоида вдали от его краёв. У концов соленоида магнитная индукция В магнитного поля уменьшается.

Циркуляция вектора магнитной индукции В магнитного поля прямолинейного проводника с электрическим током вдоль замкнутого контура, не охватывающего этот проводник, равна нулю.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы