Формулы расчёта кинематических характеристик прямолинейного и криволинейного движения материальной точки

Выведем расчётные формулы, используемые при решении задач. Они определяют угол поворота cp{t), линейную скорость v(f), угловую скорость oj(t), путь S (t), координату х (?) материальной точки.

1. Формулы расчёта угловой скорости a>(t) , угла

поворота ^(г) при равнопеременном движении материальной точки по окружности. Так как угловое ускорение е определяется формулой отсюда

интегрируя это уравнение по времени от 0 до t получим

где со0 угловая скорость в начальный момент времени (t = 0). Из формулы для угловой скорости со

следует

интегрируя уравнение (1.36) по времени от 0 до t, получим

где q> - угол поворота в начальный момент времени (? = 0).

2. Материальная точка равномерно вращается по окружности. Угловое ускорение е при равномерном вращении материальной точки по окружности равно нулю (е = 0). Согласно (1.37) угол поворота cp{t) в любой момент времени t рассчитывается по формуле

Т v / т и " и г и

3. Материальная точка движется по криволинейной траектории. Выведем формулу расчёта скорости v в любой момент времени t. Так как ускорение а материальной точки описывается формулой

то интегрируя левую часть уравнения (1.39) по скорости от v0 до v(?) , а правую часть - по времени от t0 до t

отсюда

4. Вывод формулы расчёта радиус-вектора г (t), определяющего положение материальной точки в пространстве. Из определения скорости v(t) материальной точки следует, что

Подставим в (1.41) соотношение (1.40) и проинтегрируем левую часть от г о до г (0 а правую часть - от t0 до t

5. Вывод формулы для расчёта пути S (t). Так как

отсюда

то

интегрируя уравнение (1.43) по времени от ?/ до ь, получим

где S - путь, пройденный материальной точкой, за время A t = t2

6. Формулы расчета кинематических характеристик прямолинейного равномерного движения материальной точки

Из формулы (1.42) следует

Если ось о х направлена вдоль прямолинейной траектории движения материальной точки, то из формул (1.40), (1.42), (1.44) учитывая, что

следует

где S о- путь в начальный момент времени (t = 0),

х0 - значение координаты х в начальный момент времени (t = 0).

В формулах (1.47) знаки " плюс ", "минус" берутся в зависимости от положения материальной точки относительно начала системы отсчёта (точка 0) и направления вектора скорости v относительно положительного направления оси о

7. Формулы, описывающие равнопеременное прямолинейное движение материальной точки.

Вектор ускорения а не меняется со временем, a(t) = const. Направим ось о х вдоль прямолинейной траектории движения материальной точки. Из формул (1.40), (1.42),

(1.44) следует, что

В формулах (1.48) знаки "плюс", "минус" относятся соответственно к равноускоренному и равнозамедленному движению.

8. Вывод формулы, связывающей скорость у, ускорение а и путь S. Пусть скорость материальной точки в начальный момент времени t0 (t =0) равна у 0, а в момент времени 1) равна у. Тогда средняя скорость < у > определяется соотношением

а ускорение материальной точки а

отсюда время t равно

за время Г,

Путь S, пройденный материальной точкой рассчитывается по формуле

подставив в (1.51) формулы (1.49) и (1.50), получим

Из (1.52) следует формула расчета ускорения а

 
Посмотреть оригинал