СЛУЧАЙ ЗАВИСИМОСТИ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

Будем вначале предполагать, что все неопределенные параметры являются зависимыми случайными величинами и имеют совместное нормальное распределение Л(„(р;Л) [см. формулу (4.51)]. В данном случае в качестве области Та будем использовать область, ограниченную гиперэллипсоидом [см. формулу (4.54)1

где a j есть заданная вероятность удовлетворения j-го ограничения, Л является положительно определенной матрицей и функция С(а;) определяется распределением у1 с р степенями свободы из условия у2(С(а;)) = а -

Таким образом,

Вероятность попадания случайной точки в область Та равна a j. Поскольку заданному значению а . соответствует единственный гиперэллипсоид (5.150), то в данном случае множество Та будет состоять из одной области Та [см. выражение (5.151)]. Отсюда задача (5.94) в данном случае примет вид

где область Та определяется формулой (5.151).

Решая задачу (5.152), найдем некоторую верхнюю оценку оптимального значения критерия задачи (5.87). Заметим, что в данном случае в отличие от случая независимых неопределенных параметров область Та фиксирована. Решение задачи (5.152) гарантирует, что вероятность

выполнения ограничений этой задачи будет равна а .. Если нужно получить решение, которое будет гарантировать, что вероятность выполнения ограничений будет больше или равна а ., то необходимо решить

следующую задачу:

Рассмотрим теперь случай, когда совокупность неопределенных параметров может быть разбита на М групп. Обозначим через (У вектор неопределенных параметров, соответствующих /-й группе, а через ц; - вектор их средних значений. При этом внутри одной группы неопределенные параметры являются зависимыми случайными величинами, а параметры из разных групп независимы. Ковариационную матрицу /-й группы обозначим через А,. Для /-й группы введем т областей

где j - номер ограничения; a'j - некоторое число, удовлетворяющее условию 0<а' <1.

Вероятность попадания точки 0/ в область равна у2(С(ау)). Образуем область

Поскольку неопределенные параметры из разных групп независимы друг с другом, то вероятность попадания вектора 0 в область

Га, Равиа

Потребуем, чтобы вероятность попадания вектора 0 в область Т была не меньше вероятности a j выполнения j-го ограничения.

Тогда должно выполняться равенство

Теперь можно сформулировать задачу определения верхней оценки оптимального значения критерия задачи (5.87). Она будет иметь вид

Решение этой задачи полубесконечного программирования осложняется тем фактом, что области допустимости Т в задачах оптимизации в ограничениях (5.156) зависят от поисковых переменных (в данном случае от переменных а7-).

Преобразуем задачу (5.155) таким образом, чтобы области допустимости в задачах оптимизации в ограничениях (5.156) не зависели от поисковых переменных а/. . Рассмотрим отдельно задачу (5.156)

Здесь будем использовать ту же идею, которая позволила нам свести задачу (5.108) к задаче (5.110). Введем обозначение

где б{, (» = 1,..., Р;) - i-e компоненты вектора 0/.

Тогда область Т'а примет вид

Выберем (р, -1) независимых переменных и одну зависимую среди переменных 0,- (/ = 1,..., р1). Будем для определенности считать переменные (/ = 1,..., р, -1) независимыми переменными, а переменную Q'Pi - зависимой. Решим для каждого j следующие (р/-1) задач минимизации

и (р, -1) задач максимизации

Ясно, что величины Of, О*7’-', i = 1,..., р, -1 зависят от переменной a'j. Для простоты записи не будем явно указывать эту зависимость. Ясно, что если выполняются условия

то всегда найдется множество значений переменной 0^ таких, что точки dj (i = 1,р,) будут принадлежать области Т1а . Верхняя и нижняя границы этого множества будут определяться следующим образом. Возьмем любые значения 0,-, i = 1,pt - 1, удовлетворяющие условиям (5.158). Найдем точки пересечения прямой

с гиперэллипсоидом /'’(0/, ...,0^) = С(а^). Обозначим значения переменной 0^ , соответствующие нижней и верхней точке пересечения, через 0^,0^ соответственно. Эти значения находятся решением урав

нения

Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением, всегда имеющим два корня при 0fJ р, -1. Один (больший) корень будет соответствовать верхней точке пересечения прямой (5.159) с гиперэллипсоидом F(0/,..., в1) = С(осу), а второй (меньший) - нижней. Ясно, что значения Q1 , 0^ зависят от значений переменных 0/ (i = 1,..., pj -1), которые в свою очередь зависят от переменных a'j. Поэтому будем их записывать следующим образом:

0А =0р,(01’ ™>0p,-i)’ 0а =0р,(01> -.0,д-1)- в этом обозначении отражен тот факт, что величины 0^, 0^ являются функциями переменных 0{ (/ = 1,..., р, -1). Ясно, что любая точка будет принадлежать области Т([ , если ее координаты удовлетворяют условиям (5.158)

и условию

В задаче (5.156) сделаем следующую замену переменных:

где переменные и; меняются в следующих пределах:

Тогда задача (5.156) примет вид

В этой формулировке от переменных a'j не зависят области допустимости Та в задачах оптимизации в ограничениях (5.156).

Это уже стандартная задача полубесконечного программирования, поскольку допустимые области в задачах максимизации в левых частях ограничений задачи (5.160) не зависят от поисковых переменных этой задачи и для ее решения можно использовать алгоритм 3.1.

Рассмотрим для иллюстрации случай, когда р, = 2 (см. рис. 4.3). В данном случае область Т([ есть эллипс EFGH . Выберем в качестве

независимой переменной переменную 0,, тогда переменная 02 будет зависимой. В данном случае величина 0f’-' есть абсцисса точки Е, в которой прямая 0, = Of" (прямая Л В) касается эллипса EFGH, а величина есть абсцисса точки G, в которой прямая 0, = 0^ (прямая

CD) касается эллипса EFGH. Точки F и G являются точками пересечения прямой 0[ = 0! [см. формулу (5.159)] с эллипсом EFGH. Ординаты точек F и G равны величинам 0f(0[;)) и 0^’J' (0,) соответственно.

Недостаток изложенных методов получения верхних оценок в случае зависимых неопределенных параметров состоит в том, что они не позволяют уточнять решения, полученные с помощью задач (5.152) и (5.155). В связи с этим может оказаться полезным следующий подход. Известно [37], что если случайные переменные 0), ..., 0,, имеют р-мерную нормальную плотность распределения (5.85), то они могут быть представлены в следующем матричном виде:

где а = ?[()], компоненты вектора // представляют собой одномерные независимые, стандартные, нормальные случайные величины, а матрица С удовлетворяет условию

где Л - ковариационная матрица нормального распределения (5.85).

Матричное равенство (5.162) можно рассматривать как систему р2 нелинейных уравнений относительно р2 неизвестных элементов Су матрицы С. Однако число независимых уравнений будет равно 0,5р2, так как

т

матрицы Л и СС являются симметричными. Таким образом, условию (5.162) удовлетворяет, вообще говоря, неединственная матрица С. Решив уравнение (5.162), определим элементы матрицы С. После этого можем осуществить в задаче (5.87) замену переменных 0 с помощью преобразования (5.161). В этом случае задача (5.87) примет вид

В задаче (5.163) целевая функция и левые части ограничений зависят от независимых, нормально распределенных случайных величин г|,. Поэтому для решения задачи (5.163) можно использовать метод решения, развитый в данном подразделе, при рассмотрении случая независимых неопределенных параметров для решения задачи (5.87) в случае независимых, нормально распределенных случайных параметров.

НЕЗАВИСИМОСТЬ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ

В отличие от задачи получения нижней оценки верхнюю оценку можно вычислять также и в случае, когда параметры 0, имеют распределение, отличное от нормального распределения. Пусть Ф(0,) есть функция распределения случайной переменной 0,. Тогда

Повторяя рассуждения случая независимых неопределенных параметров, можно показать, что задача вычисления верхней оценки будет иметь вид (5.105) за исключением ограничения (5.107), которое будет иметь вид

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >