Алгоритм прогнозирования финансовых индексов в рамках модели экономического броуновского движения (ЭБД)

В данном разделе обсуждается рандомизированный алгоритм прогнозирования финансовых индексов, который сочетает в себе, с одной стороны, тривиальный прогноз (лучший прогноз финансового индекса «на завтра» — это его значение «на сегодня»), вытекающий из известного предположения мартингальности значений финансовых индексов [32]. С другой стороны, рандомизированный алгоритм предусматривает и возможность оптимального (в среднем квадратическом) прогноза в рамках модели Самуэльсона [38] экономического броуновского движения (со сносом).

Начнем с краткого изложения алгоритма оптимального прогнозирования значений финансового индекса в рамках модели экономического броуновского движения (ЭБД) с дискретным временем [2],[16],[19].

Точечное оптимальное прогнозирование финансовых индексов в рамках модели ЭБД с дискретным временем

Значение (5.49) финансового индекса (ФИ) удовлетворяют модели ЭБД, если члены последовательности величин (5.50), независимы,

нормально распределены и обладают едиными количественными характеристиками

Пусть St удовлетворяет модели ЭБД и имеются наблюдённые значения St при t =0,1,2,...,я:

Следовательно, известны значения “логарифмической прибыли”

которые, по предположению, являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с параметрами (5.82). Эти параметры, полагаем, неизвестны. Требуется при сделанных предположениях построить прогноз значения St на некоторый будущий момент t = п + к. Прогноз обозначим Sn+/C и, принимая во внимание равенство

где

будем строить прогноз Sn+ic по правилу

Прогноз АН величины (5.86). Прогноз АН ищется по известным значениям (5.84) в классе неоднородных линейных процедур

т

Выбор коэффициентов gg и ? = (й>й>->?л) подчиним двум стандартным требованиям оптимальности (в среднем квадратичном) прогноза (5.88):

Требования (5.89),(5.90), рассмотренные совместно, образуют классическую задачу математического программирования с ограничениями. Решим её методом неопределённых множителей Лагранжа. Предварительно, используя предпосылки модели (5.82), которые приводят к характеристикам

получим выражения для ограничения (5.89) и целевой функции задачи (5.90). Из (5.91) следует, что

Таким образом, функция Лагранжа для задачи (5.89), (5.90) имеет вид

где X - множитель Лагранжа.

Дифференцируя (5.93) по аргументам и приравнивая производные нулю, получим систему уравнений для определения коэффициентов gi, i = ,...,n линейной оценки (5.88)

Из первого уравнения системы

из второго, с учётом (5.92), откуда следует, что

Подставляя выражение для множителя Лагранжа X в (5.94), получим С учетом (5.95)

где

— оценка параметра т логарифмической прибыли.

Итак, в рамках модели ЭБД наилучшая линейная оценка приращения АН = Нп+/( - Нп броуновского движения с дискретным временем отыскивается по правилу (5.96). Точность этой оценки характеризуется средней квадратической ошибкой а,- = -jе(аЙ - АЯ]’ . Выразим а,, через период упреждения к.

и, таким образом,

Так как параметр сг, по предположению, неизвестен, то в (5.98) используется его оценка S,

вычисленная по известным значениям логарифмической прибыли:

Располагая прогнозом (5.96) и его точностной характеристикой (5.98), получим прогноз величины ФИ (5.87),

и его среднюю квадратическую ошибку (с учётом (5.99) и(5.100))

Подчеркнём, что согласно (5.102) и (5.90), прогноз (5.101) является в рамках модели ЭБД оптимальным в смысле минимума относительной средней квадратической ошибки. Добавим к сказанному, что при рассуждении в дифференциалах прогноз (5.101) оказывается и несмещённым:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >