Математические модели систем массового обслуживания для решения экономических задач

Четвериков С. Ю. , Попов М.А.

Россия, Институт экономики и предпринимательства (г. Москва)

Теория систем массового обслуживания представляет собой прикладную математическую дисциплину, исследующую числовые характеристики явлений, протекающих в экономике. К ним можно отнести функционирование телефонного узла, центров бытового обслуживания, кассовых аппаратов в супермаркете и т.д.

Математическими моделями таких объектов служат системы массового обслуживания (СМО), описываемые следующим образом: в систему поступают требования (заявки на обслуживание), каждое из которых обслуживается некоторое время и затем покидает систему. Однако в силу ограничений на ресурсы (число обслуживающих кассовых аппаратов, скорости обслуживания и т.п.) система способна обслуживать одновременно только определенное число требований. Математические модели в этом случае призваны решать задачи вычисления числовых показателей качества функционирования СМО.

При построении моделей СМО принципиально выделяют две системы: детерминированную и стохастическую, которые собственно определяют тип математической модели.

Рассмотрим простейшую детерминированную систему, состоящую из п одинаковых приборов, в которую требования поступают через детерминированные (постоянные) промежутки времени, а время, обслуживания каждого требования также постоянно. Очевидно, что если требования поступают через промежутки

а время обслуживания каждого требования павно

то необходимое и достаточное условие нормального функционирования системы заключается в выполнении неравенства

В противном случае с течением времени требования будут накапливаться в системе.

Параметры X и ц имеют простой физический смысл:

X — среднее число поступающих за единицу времени требований или интенсивность входящего потока;

ц — среднее число требований, которое способен обслужить за единицу времени каждый прибор, или интенсивность обслуживания требований одним прибором;

/7ц — среднее число требований, которое способны обслужить п приборов, или интенсивность обслуживания требовании всей системой.

Таким образом, условие (1) означает, что интенсивность входящего потока не должна превышать интенсивности обслуживания требований всей системой. Рассмотрим величину

— так называемую загрузку системы.

Тогда неравенство (1) можно переписать в виде:

В этом случае загрузку можно интерпретировать как среднюю долю времени, в течение которого приборы заняты обслуживанием требований, а величину 1 - р — как среднюю долю времени, в течение которого приборы простаивают.

Наконец, еще одно замечание к функционированию системы с детерминированными характеристиками:

если в начальный момент времени система свободна и выполнено условие (2), то каждое поступающее в систему требование сразу же становится на обслуживающий прибор;

в случае р < 1 даже при наличии очереди в начальный момент она через некоторое время исчезнет;

наконец, если р > 1, то за единицу времени очередь в среднем увеличивается на Мр-1).

В реальных системах массового обслуживания существенную роль играют элементы случайности:

во-первых, времена между поступлениями требований не являются детерминированными;

во-вторых, не являются детерминированными времена обслуживания требований.

Кроме того, элементы случайности могут появляться из-за других причин, например, отказов элементов систем массового обслуживания.

Оказывается, элементы случайности существенно влияют на качество функционировании систем обслуживания. Так, если загрузка р = 1, то, в отличие от детерминированных систем, в стохастических системах очередь с течением времени в среднем стремится к бесконечности. Очереди в стохастических системах образуются даже в случае р < 1. В этом случае расчет характеристик СМО производится на основе вероятностных методов.

Рассмотрим формализованное описание СМО. Основными параметрами СМО являются:

входящий поток требований;

структура системы;

временные характеристики обслуживания требований;

дисциплина обслуживания.

Рассмотрим эти параметры.

Входящий поток характеризуется случайными моментами поступления требований в простую систему, а для сложных систем — и типами поступающих в эти моменты требований.

При задании случайного потока обычно предполагается, что входящий поток является рекуррентным и, наиболее часто пуассоновским.

Сделаем несколько замечаний о корректности описания поступающих в реальные системы потоков требований пуассоновским и рекуррентным. Очевидно, что уже свойство отсутствия последействия в реальных системах выполняется крайне редко, поскольку у обладающего таким свойством потока за любой сколь угодно малый промежуток времени может поступить сколь угодно большое число требований с отличной от нуля (хотя и чрезвычайно малой) вероятностью. Однако практика показывает, что описание входящего потока пуассоновским в большинстве случаев с достаточной степенью точности правомерно. Дополнительным математическим подтверждением этого факта служит теорема Хинчина, которая говорит, что объединение большого числа "редких" потоков при весьма слабых ограничениях дает пуассоновский поток.

Второе свойство пуассоновского потока — стационарность — также не выдергивает критики. В самом деле, интенсивность входящего потока, как правило, зависит от времени суток, года и т.п. Если сохранить свойства отсутствия последействия и ординарности, то получается нестационарный пуассоновский поток. В ряде случаев удается разработать математические модели расчета экономических систем с таким входящим потоком, однако получаемые при этом формулы очень громоздки и трудны для практического применения. По этой причине в расчетах ограничиваются некоторым временным интервалом, на котором интенсивность входящего потока мало меняется.

Если отказаться только от свойства ординарности, то получается неординарный пуассоновский поток, у которого моменты поступления требований образуют обычный пуассоновский поток, но в каждый такой момент приходит случайное число требований. Большинство результатов, справедливых для систем с пуассоновским потоком, практически без изменений переносится на системы с неординарным пуассоновским потоком.

Для задания структуры СМО необходимо перечислить все элементы, имеющиеся в системе, и указать, требования каких типов или даже на каких фазах обслуживания может обслуживать каждый элемент. При этом отдельный элемент может обслуживать требования нескольких типов и, наоборот, требования одного типа могут обслуживаться на нескольких элемента. В дальнейшем будем предполагать, что в СМО имеется один или несколько одинаковых элементов и каждое требование может обслуживаться на любом из них. Системы такого типа называются однолинейными (один элемент) или многолинейными (несколько элементов).

В системах обслуживания могут быть элементы для ожидания требованиями начала обслуживания. Если таких элементов бесконечно много, то говорят о системах с ожиданием, если их число конечно — о системах с конечным числом мест ожидания, если же они вообще отсутствуют (требование, заставшее в момент поступления в систему все элементы занятыми, теряется; пример — обычные телефонные системы) — о системах с потерями.

Временные характеристики обслуживания требований также представляют собой сложный объект для формализованного описания. Обычно предполагается, что времена обслуживания всех требований независимые между собой и являются одинаково распределенными случайными величинами. Если в СМО поступают требования нескольких типов, распределение времени обслуживания может зависеть от типа требования.

Дисциплина обслуживания заключается в правиле постановки требований в очередь и порядке выбора их из очереди на обслуживание, распределении элементов между требованиями, а в многофазных системах — и между фазами обслуживания. Будем предполагать, что в системе реализована простейшая дисциплина — обслуживание требование в порядке поступления (FIFO). В многолинейных системах образуется общая очередь ко всем элементам, и находящийся первый в очереди требование поступает на любой освободившийся элемент.

Тем не менее, в СМО используются и более сложные дисциплины обслуживания. Простейшими примерами таких дисциплин являются инверсионный (обратный) порядок обслуживания (LIFO), при котором обслуживается требование, поступившее в систему последним.

Дисциплина равномерного разделения элементов системы, при которой каждое из п находящихся в системе требований обслуживается с одинаковой скоростью 1/п. Иногда в момент поступления требования в систему становится известно время его обслуживания (работа, которую предстоит совершить). Тогда можно использовать дисциплины, зависящие от остаточных времен обслуживания требований. В частности, дисциплина обслуживания первым требования с минимальным остаточным временем обслуживания позволяет получить минимальную длину очереди в любой момент времени. Применение сложных дисциплин обслуживания очень часто позволяет без каких- либо дополнительных затрат существенно улучшить качество функционирования СМО.

Особый класс СМО представляют собой приоритетные системы, в которые поступают потоки требований нескольких приоритетов, и требования более высоких приоритетов имеют преимущество перед требованиями более низких приоритетов, т.е. обслуживаются раньше. Приоритеты могут быть относительными, когда требования более высокого приоритета не прерывают обслуживания находящихся на элементах требований более низких приоритетов, и абсолютные, когда такое прерывание происходит.

В случае абсолютных приоритетов также возможны различные модификации: недообслуженные требования с прерванным обслуживанием покидают системы (системы с выбыванием), продолжают обслуживаться после того, как все требования более высоких приоритетов покинут систему (системы с дообслуживанием), обслуживаются заново.

К дисциплинам обслуживания следует отнести и такие факторы, как подготовительный этап перед началом обслуживания очередного требования или после того, как в свободную систему поступило требование, этап переключения элемента на обслуживание требований другого типа, обслуживание требований ненадежными элементами системы и т.п. Наконец, может быть ограничено время пребывания требования в системе или время ожидания начала обслуживания.

Опишем теперь те характеристики СМО, которые представляют интерес для пользователя. Иногда на практике их называют вероятностно-временными характеристиками. Наиболее важными из них являются длина очереди (т.е. число ожидающих начала обслуживания требований) и время ожидания начала обслуживания требования. Поскольку и длина очереди, и время ожидания начала обслуживания — случайные величины, то, естественно, они описываются своими распределениями. Кроме того, распределения длины очереди и времени ожидания зависят от текущего момента времени.

В системах с потерями или конечным числом мест ожидания к важнейшим характеристикам относится также вероятность потери требования. Иногда наряду с длиной очереди рассматривают общее число требований в системе, а наряду с временем ожидания начала обслуживания — время пребывания требования в системе.

В системах с потерями или конечным числом мест ожидания, а также в системах с ожиданием и загрузкой р < 1 (напомним, что под загрузкой понимается отношение среднего числа поступающих в систему требований к среднему числу требований, которое система в состоянии обслужить) при весьма слабых ограничениях на параметры с течением времени устанавливается стационарный режим функционирования, характеризующийся постоянством во времени вероятностных характеристик.

Нахождению стационарных характеристик посвящено большинство работ по теории массового обслуживания, хотя и нестационарные характеристики исследованы достаточно подробно.

Литература

  • 1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Физматгиз, 1961.
  • 2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.T.I. М.: Мир,
  • 1984.
  • 3. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1966.
  • 4. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. М.: Сов. радио, 1965.
 
Посмотреть оригинал