Технология имитационного моделирования безопасности сложных систем

Гереев М.А., Майструк А.В., Полынкин К.М.

Россия, BA РВСН им. Петра Великого; Московский государственный

индустриальный университет

Современные сложные технические системы (СТС) по своему назначению, конструктивному исполнению и условиям эксплуатации весьма разнообразны. На протяжении всего жизненного цикла системы испытывают различные эксплуатационные нагрузки и воздействия (электрические, тепловые, механические, различного рода излучения и т.п.), в результате процессов старения деградируют физико-химические свойства конструкционных материалов, что приводит к существенному изменению их первоначальных свойств и характеристик.

При этом оценка характеристик системы и контроль предъявляемых к ней требований является неотъемлемой составной частью каждой стадии и каждого этапа ее жизненного цикла, так как недооценка указанных факторов приводит к гибели людей, выводу из строя оборудования, загрязнению окружающей среды вредными веществами. Предупреждение подобных происшествий и снижение эксплуатационного риска от них требуют целенаправленной работы по изучению обстоятельств и закономерностей их возникновения, развития методов моделирования опасных процессов в техносфере.

Количественный анализ опасности сложных систем чрезвычайно трудоемок, так как необходимо учитывать не только состав, структуру, морфологию и функциональную среду, но и определиться с параметрами и интегральными характеристиками как всей системы, так и ее наиболее существенными компонентами, обеспечить требуемую достоверность и точность количественных прогнозов. Натурные испытания не всегда возможны, вследствие быстротечности процессов, дороговизны и опасности их последствий, а объективная сложность, случайность и многофакторность процессов исключает возможность их всестороннего изучения с помощью одних аналитических моделей.

Стремительно растущая производительность вычислительных средств является серьезным, хотя и не единственным стимулом бурного развития методов прикладной статистики, которые наблюдаются в течение последних десятилетий. Поэтому понятен острый интерес (особенно с учетом сложности аналитических моделей) к статистическим методам моделирования опасных процессов в техносфере (например, методы бут- стрепа, складного ножа, кросспроверки) интенсивно использующим ЭВМ [1,2].

Рассмотрим некоторые методические подходы при моделировании безопасности сложных систем статистическими методами, сущность и общий алгоритм которых сводится к следующему [3, 5]. В имитационных моделях моделируемый алгоритм поведения сложной системы приближенно воспроизводит сам процесс-оригинал в смысле его функционирования. При этом имитируются элементарные события (например, предпосылки к происшествию - ПП), составляющие процесс изменения состояния системы, с сохранением их логической структуры и порядка его протекания. Имитируя различные ситуации, исследователь получает возможность вычисления некоторого функционала, заданного на множестве реализаций процесса функционирования изучаемой системы.

Одним из естественных методов статистического моделирования для оценки вероятности опасного состояния (ОС) системы является метод моделирования предпосылок к происшествиям, который может быть реализован с помощью встроенных функций Microsoft Excel. Сущность метода заключается в имитации случайных предпосылок к происшествиям и проверка связности графа (наличия минимального пропускного сочетания) указывающего на один из вариантов возникновения опасного состояния системы. В этом случае для каждого /-го элемента системы генерируется случайное число V; (встроенная функция Microsoft Excel - СЛЧИС(_) или RAND(_)), в виде десятичной дроби, которое сравнивается с известной или заданной вероятностью возникновения предпосылки к происшествию р(. Если К < Pi (логическая функция - ЕСЛИ(_) или

ZF(_)), то элементу присваивается значение 1, если же vj > р., то элементу присваивается значение 0.

После построения случайной реализации состояния всех элементов определяется, связен граф или нет. Связность графа (сети) проверяется на основании логической функции опасного состояния, которая может быть представлена как в виде дизъюнкции минимальных пропускных сочетания (МПС), так и конъюнкции минимальных отсечных сочетаний (МОС) [3, 4]

где y(Z) = y(zl,...,zn) - вектор ПП, характеризующий состояние элементов системы;

Кф - множество номеров ПП, соответствующих 1-му МПС (Ф;); Кт - множество номеров ПП, соответствующих г-му МОС (y?r); zf- индикаторная (булева) функция, отражающая состояние /-го элемента СТС.

Проверка связности графа осуществляется с помощью структурной логической функции (И(_) или AND{_); ИЛИ(_) или 0/?(_)) проверяющей условие формирования МПС или МОС. Если условие выполнено, то в ячейке записывается единица, если нет, то нуль. Соответственно, если граф связен, то в счетчик успешных испытаний прибавляется единица, указывающая на опасное состояние системы. Иными словами, реализуется схема испытаний Бернулли.

После каждой имитации фиксируется состояние системы, а полученные статистические данные по N экспериментам накапливаются и обрабатываются статистическими методами. Число экспериментов определяется из необходимой точности оценки. После набора достаточной статистики вычисляется частота успешных испытаний (статистическая вероятность опасных состояний сложной системы) по формуле

где т - число успехов (ОС СТС); N - полное число испытаний.

Естественно, что число безопасных состояний системы (N-m) должно быть достаточно большим, чтобы оценка (3) была состоятельной. Однако такой метод прямого статистического моделирования оказывается весьма неэффективным в случае высоконадежных и безопасных систем.

Поэтому предлагается метод статистической оценки условной вероятности, который совмещает статистическое моделирование с аналитическим расчетом [3, 5]. Для простоты изложения положим, что все параметры (показатели безопасности) элементов системы равны. Пусть также из анализа структурной схемы (сценария опасного состояния) известно, что наименьшее минимальное пропускное сочетание включает к элементов, хотя общее число таких сочетаний может быть и неизвестным.

В этом случае мы можем вычислить вероятность того, что в системе возникнут ровно 0 предпосылок к происшествию, по формуле

При этом если бы были известны условные вероятности W0 того, что граф (сеть)

окажется связным при условии, что возникло ровно 0 предпосылок к происшествию, то полная вероятность связности графа могла бы быть рассчитана по формуле

Проведя серию статистических экспериментов, в ходе которой будем имитировать случайным образом количество предпосылок к происшествию, начиная с 0 = к, и фиксировать связность графа (сети) в этих ситуациях, можем получить оценки условных вероятностей W0. Интересующую нас статистическую оценку fVn найдем по формуле

где тк - количество ситуаций, при которых сеть оказывается связной после возникновения к ПП; Nk - общее число испытаний, при которых зафиксировано к предпосылок.

Заметим, что число испытаний для разного количества к может быть разным. Более того, если вероятности каких-либо состояний пренебрежимо малы, то соответствующие статистические оценки могут и не вычисляться вовсе. В результате будет получена оценка:

Рассмотрим метод статистического оценивания вероятности состояний, в ходе которого предпосылки к происшествию генерируются случайным образом до тех пор, пока впервые сформируется минимальное пропускное сочетание, т.е. граф (сеть) окажется связным. Проведя N экспериментов, зафиксируем набор следующих пар: (Э ,,/«,), 0 2,/н,),..., 10 к, тк), где 0к - число предпосылок к происшествию к моменту

образования минимального пропускного сочетания, а тк - число таких реализаций. Все указанные величины являются случайными, хотя при этом 0, (наименьшая из величин) не может быть меньше числа элементов в наименьшем минимальном пропускном сочетании. При этом 0 < тк < N .

Пусть для определенности 0 , <0 2 < ... <0 к, тогда очевидно, что при числе предпосылок к происшествию, обусловленных отказами элементов системы меньшем, чем 0,, не могло наблюдаться минимального пропускного сочетания. Обозначим условную вероятность несвязности сети при условии, что в ней отказало ровно к элементов, через Wk. Следовательно, исходя из условия, что до отказа ровно 0, элементов, система не могла находиться в опасном состоянии, следует, что

W0=Wl=W2=... = W9i,l =1.

Очевидно, что в случае отказа числа элементов к > 0,, условная вероятность несвязности сети, то есть безопасности сложной системы, будет равна:

Если 0г есть наибольшее из наблюдаемых величин, так как г это общее количество элементов, то очевидно, что Wr = Wr+l = Wr+2 -... = 0.

следующем виде

Поэтому, формула полной вероятности несвязности сети может быть записана в

Обычно при практических расчетах число слагаемых в сумме (9) бывает невелико, так как каждое слагаемое представляет собой статистическую оценку множества возможных различных вариантов предпосылок к происшествию, формирующих минимальное пропускное сочетание.

В результате оценка вероятности ОС системы будет равна:

Полученная формула для вычисления Рос, с практической точки зрения наиболее удобна, так как вероятности, стоящие в скобках, как правило, быстро убывают. Поэтому можно легко увидеть, где допустимо без большой погрешности прервать вычисления.

Следует также отметить, что рассмотренный пример, не накладывает ограничения на общность выводов, так как полученные формулы справедливы и в тех случаях, когда вероятности предпосылок к происшествиям разные, что приведет только к более громоздким формулам, но суть метода останется прежней.

На практике, особенно при моделировании безопасности сложных систем (например, образцов ракетного вооружения), возникает необходимость в оценке точности и достоверности получаемых результатов или в определении минимального количества испытаний, позволяющих обеспечить заданную достоверность оценок.

Пусть необходимо найти количество испытаний N для вычисления оценки вероятности Р нахождения системы в опасном состоянии. В качестве оценки примем соотношение

т - количество испытаний, при которых зафиксировано ОС СТС; N - общее число испытаний.

В силу центральной предельной теоремы значение Р, при достаточно больших N, распределено асимптотически по нормальному закону, то можно записать

где (3 - доверительная вероятность; ер - некоторая малая величина, определяющая точность оценки.

Так как величина р распределена в соответствии с нормальным законом, то можно записать

где о . - среднеквадратическое отклонение; tp - параметр, определяющий число, которое необходимо отложить вправо и влево от центра рассеивания, чтобы вероятность попадания на заданный участок была равна Р .

Поскольку для математического ожидания Mm/N] и дисперсии D[m/N] справедливы следующие соотношения

то после подстановки в формулу (15) зависимости (13) получим:

Фактически в данной формуле в правой части остается неизвестная вероятность р, поэтому, принимая в первом приближении, что р »m/N0 , где N0 - первоначально принятое число испытаний, путем подстановки в выражение (16) вычисляем N. Если N получится меньше N0, то дополнительно назначают AN = Nx —N0, после чего,

уточнив значение р ~ mjNx , снова проверяют выполнимость условия N2X и т.д. В противном случае испытания заканчиваются.

В случае априорного определения числа N, гарантирующего требуемую точность, найдем максимальное значение Nmax. С этой целью возьмем частную производ-

ную

и вычислим р = 1/2 . Подставив это значение в формулу (16), получим выражение

В соответствии с полученной формулой (18), максимально необходимое число испытаний прямо пропорционально квадрату параметра , зависящего от заданной величины достоверности (3 , и обратно пропорционально квадрату требуемой точности

оценки? р .

Таким образом, в тех ситуациях, когда для исследования сложных систем имеются аналитические методы решения, но при этом математические процедуры (например, преобразования ФАЛ в вероятностную функцию опасного состояния) столь сложны и трудоемки, целесообразно применять статистические методы моделирования, которые дают более простой и экономичный способ решения задачи исследования.

Литература

  • 1. Волков Л.И., Рудаков В.Б. Статистический контроль иерархических систем. - М: Изд-во СИП РИА, 2002. - 360 с.
  • 2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учебное пособие / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - 5-е изд., стер. - М.: КНОРУС, 2010. - 480 с.
  • 3. Майструк А.В. Управление безопасностью эксплуатации сложных технических систем: Математические методы и практика их применения. - М.:ВА РВСН им. Петра Великого, 2007. - 256с.
  • 4. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. - Спб.: Политехника, 2000. - 248 с.: ил.
  • 5. Ушаков И.А. Курс теории надежности систем: учеб, пособие для вузов / И.А. Ушаков. - М.: Дрофа, 2009. - 239 с.: ил.
 
Посмотреть оригинал