Преобразования электрического и магнитного полей.Инварианты поля

При переходе от одной ИСО к другой, находящихся в состоянии относительного движения, характеристики электромагнитного поля е

и b должны испытывать определённые изменения. Необходимость таких изменений видна из следующего простого примера: в той ИСО, в которой электрические заряды покоятся, существует только электрическое поле этих зарядов. В той же ИСО, относительно которой они движутся, существуют как электрическое, так и магнитное поля. Родственное явление, заключающееся в порождении электрического поля движущимся магнитом, называется униполярной индукцией.

Для вывода формул преобразования полей можно поступить следующим образом.

Пусть е и Ь - поля в СО К, а - их 4-вектор потенциал. По формулам

записываем проекции этих полей в виде производных проекций А(4> по координатам Минковского [см. (Ш.20.1) и (III.20.3)]. Затем, по

формулам преобразований 4-векторов, переходим от А*4) к А*4*' и выражаем с помощью преобразований Лоренца в виде (II.9.4) производные по не штрихованным координатам через производные по штрихованным. Последним этапом преобразований будет введение в правые части получающихся выражений соответствующих проекций поля в СО К.

В качестве примера получим формулу для проекции напряжённости электрического поля на ось OY через характеристики поля в СО К. Пишем:

При этом

По общему правилу замены переменных при дифференцировании

)

с использованием преооразований Лоренца находим, что

Подстановка (III.21.2) и (III.21.3) в (III.21.1) даёт

Первое выражение в квадратных скобках, согласно (III.21.1), есть е'у, а второе равно V b'z, поскольку

Таким образом, окончательно получаем

Проводя аналогичные вычисления для остальных проекций поля, приходим к следующим формулам преобразования электрического и магнитного полей при переходе от ИСО К' к ИСО К:

Из (III.21.4) следует, что характеристики электрического и магнитного полей, как и большинство физических величин, относительны, то есть их значения различны в разных СО. В

частности, если в СО К имеется только электрическое (Ь'=0) или только магнитное (е'= 0 ) поле, то в движущихся по отношению к ней СО существуют оба поля. [Исключение составляют случаи 6'=^ ,0,0) и ё'= (е'х ,0,0)].

Формулы преобразования полей (III.21.4) могут быть записаны в векторной форме. Именно:

Для нерелятивистских скоростей с точностью до членов порядка V/c эти формулы имеют вид

Задача 1. Самолет летит горизонтально со скоростью v = = 250 м/с в направленном вертикально вниз магнитном поле Земли с индукцией b = 50 мкТл. Какое электромагнитное поле будут

«наблюдать» пассажиры самолета? Размах крыльев самолёта 1 = 60 м.

Решение. Направим ось О X лабораторной ИСО К, связанной с Землей, вдоль вектора скорости самолета. Тогда v = v-i. Ось OZ

направим вертикально вверх, так что магнитная индукция b = -Ь • к . Для нахождения характеристик электромагнитного поля в ИСО К', связанной с самолетом, запишем формулы (Ш.21.5) в виде

Так как в лабораторной СО электрического поля нет (е = 0), то

из второго уравнения сразу следует, что b'= b - магнитное поле для авиапассажиров остаётся тем же, что и для проводивших их в полёт людей. Однако в самолёте появляется электрическое поле. Его напряжённость, как вытекает из написанного выше первого соотношения

(учтено, что (ixk)=-j).

Таким образом, в самолёте будет наблюдаться электрическое поле с напряжённостью е' = vb = 12,5 (мВ/м), направленное вдоль оси OY, то есть вдоль крыльев.

При размахе крыльев 1 = 60 м, между их концами возникает разность потенциалов Дф = е'1 = 0,75 (В) - величина небольшая, но вполне доступная для измерений.

Из относительных величин, каковыми являются поля е и b , можно построить комбинации, численные значения которых во всех ИСО одинаковы. Такими инвариантами электромагнитного поля являются величины

Инвариантность выражений (III.21.6) и (Ш.21.7) позволяет сделать важные выводы общего характера об изменении полей е и b при переходе от одной ИСО к другой.

Если поля е и b ортогональны, то существует ИСО, в которой либо ё'=0 , либо Ь'= 0. Первое имеет место, когда 1( >0 (cb>e), а второе - когда I, <0 (cb0, называются магнитоподобными. Те же, для которых I, < 0, называют электроподобными.

Если в некоторой ИСО имеется только электрическое или только магнитное поле, то во всех ИСО, где существуют оба поля, векторы ё и b ортогональны друг другу.

Отметим, наконец, что для поля электромагнитной волны в

вакууме cb = e и ё JL b , вследствие чего оба инварианта (III.21.6) и (Ш.21.7) равны нулю.

Задача 2. В некотором электромагнитном поле электрический вектор ё образует угол 90 с вектором магнитного поля b , причём угол 0О инвариантен для всех наблюдателей. Чему равен этот угол?

Решение. В любой ИСО угол между электрическим вектором и вектором индукции магнитного поля определяется соотношением

Но скалярное произведение е • b (III.21.7) инвариантно, а произведение eb - нет. Следовательно, угол 0О может быть инвариантным в том и

только том случае, если е • b = 0 , то есть 0О = к / 2 .

Замечание. Величины (III.21.6) и (III.21.7) являются инвариантами. Однако следовало бы, вообще говоря, учесть, что выше рассматривались только непрерывные преобразования Лоренца, представляющие собой «вращения» 4-мира Минковского. В общем случае возможны ещё два, но уже дискретные, преобразования: преобразование пространственной инверсии (?-»-?) и преобразование обращения времени (t —> -t). Но при этих

преобразованиях инвариант С = е • b изменяет свой знак: е • b —» -е • b . Поэтому в качестве истинного инварианта Ь при всех возможных преобразованиях 4-х мерного пространства-времени следует

рассматривать не е • b , а • b Г .

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >