Четырехмерные векторы плотности тока и потенциала электромагнитного поля. Уравнения электродинамики в релятивистской форме. Преобразование плотностей заряда и тока при переходе от одной ИСО к другой

Перейдем в (III. 19.6), (III. 19.9) - (III. 19.11) к координатам Минковского

[см. (II.9.1)] и введём два 4-вектора: 4-вектор плотности тока jl4), объединяющий плотности тока j и заряда р,

и 4-вектор-потенциал поля А(4), который объединяет векторный А и скалярный ф потенциалы:

Тогда, как легко видеть, закон сохранения заряда (III. 19.6) и лоренцеву калибровку (III. 19.9) можно записать в виде равенства нулю 4-

дивергенций векторов j(4) и А(4) соответственно:

Можно показать, что 4-дивергенция, как и скалярное произведение 4-векторов, является инвариантом преобразований Лоренца. Поэтому во всех ИСО как закон сохранения заряда, так и условие калибровки имеют одинаковый вид. Непосредственно же

между собой векторы j<4> и А(4) можно объединить с помощью одного четырёхмерного уравнения

в справедливости которого непосредственно легко убедиться на основе уравнений (III. 19.10) - (III. 19.11) и выражений (III. 19.5), (Ш.20.1) - (Ш.20.3).

Оператор ? в (III.20.5) имеет вид

и называется четырёхмерным оператором Лапласа (или оператором д'Аламбера). Так как в левой и правой частях (III.20.5) стоят 4-векторы, то при преобразованиях Лоренца эти части меняются по одному и тому же закону. Поэтому и уравнение (III.20.5), а с ним и равносильная ему система уравнений электродинамики (III. 19.1) - (III. 19.4) являются верными во всех ИСО.

Остановимся более подробно на преобразованиях 4-векора плотности тока j(4) (III.20.2).

Пусть в ИСО К' имеются неподвижные электрические заряды, плотность которых равна р0(Р). Это означает, что в этой СО

и, используя правила преобразования проекций 4-вектора (II.9.5), в ИСО К будем иметь

Выражения (III.20.6), записанные с учётом (III.20.7) в векторной форме, имеют вид

и определяют плотность электрического тока зарядов, скорость которых совпадает со скоростью СО К' относительно СО К. Что касается изменения плотности заряда в (III.20.7), то его можно рассматривать как результат преобразования объёма (1.4.5) и определения плотности заряда р как р = dq/dv . В самом деле:

При этом сам электрический заряд оказывается инвариантом преобразований Лоренца:

Пусть теперь в СО К' распределение зарядов таково, что р0 = 0, но j0(?') * 0 , то есть

Это имеет место, например, тогда, когда положительные и отрицательные заряды, двигаясь во встречных направлениях, полностью компенсируют друг друга так, что р0 = 0 . В этом случае для плотностей заряда и тока в СО К получаем:

Наиболее замечательным результатом в (III.20.8) служит последняя формула, устанавливающая факт появления зарядов с отличной от нуля плотностью в ИСО, движущихся относительно той из них, где эта плотность равна нулю. Причина этого может быть понята на основе так называемой диаграммы Минковского. Не останавливаясь на этом, отметим лишь, что своего рода «превращение» заряда в ток (III.20.6) и наоборот (III.20.8) является проявлением их неразрывного единства, раскрываемого четырёхмерной формой уравнений электродинамики.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >