РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Уравнения электродинамики для поля в вакууме

В § 2, главы I говорилось о том, что СТО возникла на основе распространения принципа относительности Галилея на все процессы (и, в первую очередь, на электромагнитные) и признания правильности уравнений электродинамики, лежащих в основе описания электрических и магнитных явлений. Поэтому не удивительно, что система уравнений Максвелла, сформулированная почти за пятьдесят лет до появления СТО, оказалась инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца.

Напомним также, что в главе II, посвящённой механике СТО, весьма плодотворным оказалось введение четырёхмерного пространства Минковского, а с ним и ряда 4-векторов (§§ 9 - 10). Это позволило не только прийти к релятивистски инвариантному обобщению классического уравнения движения частицы и формуле Эйнштейна, но и получить важные формулы преобразования энергии и импульса при переходе от одной ИСО к другой (§ 13).

По этой причине естественно вновь обратиться к уравнениям электродинамики с целью их последующей записи в четырёхмерной форме. При таком подходе к уравнениям Максвелла удаётся не только легко убедиться в релятивистской инвариантности этих уравнений, но и выявить неразрывное единство электрических зарядов и токов, электрического и магнитного полей, а также получить формулы для их пересчёта из одной ИСО в другую.

Будем рассматривать электромагнитное поле в вакууме, которое порождается электрическими зарядами с объёмной плотностью p(r,t)

и плотностью электрического тока j(r,t)= p(r,t)v(r,t), где v - скорость заряда в данной точке. Напряженность электрического e(r,t)

и индукция магнитного b (г, t) полей связаны с р и j следующей системой уравнений классической электродинамики:

Здесь ?0 и |_i0 - электрическая и магнитная постоянные, причём скорость распространения электромагнитных возмущений (1.1.5)

Из уравнений (III. 19.1) и (III. 19.2) следует уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда:

Для получения (III. 19.6) необходимо применить к обеим частям (III.19.2) операцию div, заменить, на основании (III.19.1), dive на р/е0 и учесть, что для любого векторного поля a div rot а = 0.

Задача 1. Вывести уравнение непрерывности (III. 19.6) для случая движения точечного заряда q со скоростью v.

Решение. В случае точечного заряда плотность р равна нулю всюду, кроме точки г(), в которой находится заряд. Поэтому плотности электрического заряда и тока выражаются через 5-функцию как

- dij)

где v = —- - скорость заряда, dt

др

Найдём производную —. Так как при движении заряда изменяется его радиус-вектор г0, то

Поскольку плотность заряда р есть функция от (? - ?0), то и, следовательно,

Учитывая, что j=pv, воспользуемся формулой векторного

анализа divj = pdiw + vgrad р и учтём независимость v от координат радиус-вектора г . Тогда divv = 0 и

Поэтому окончательно

что в точности совпадает с (III. 19.6).

На основании тождества divrota^O и уравнения (III. 19.4) индукция магнитного поля может быть представлена как

Вектор А в (III. 19.7) называется векторным потенциалом (или вектор- потенциалом) электромагнитного поля. При подстановке (III. 19.7) в (III. 19.3) получаем уравнение

Поскольку для любого скалярного поля f rotgradf = 0, можно написать

откуда

Функция ср в (III. 19.8) называется скалярным потенциалом электромагнитного поля.

Положим

где f - произвольная функция координат и времени, и определим поля

Ь' и е', формально отвечающие этим потенциалам. Учитывая (III. 19.7) и (III. 19.8), пишем:

Видим, что потенциалы А' и ср' определяют то же самое

электромагнитное поле, что и потенциалы А и ср. Следовательно, потенциалы поля не являются однозначными функциями координат и времени. Это позволяет подчинить их дополнительному условию, которое имеет вид

и называется условием калибровки Лоренца. Использование этого условия позволяет максимально упростить уравнения, решениями которых служат потенциалы поля.

Для вывода этих уравнений подставим е из (III. 19.8) в (III. 19.1)

, д2 д2 д2

и учтём, что divgrad = А, где А = —- ч--- ч--- - оператор Лапласа.

дх~ ду~ dz~

В результате получим

Второе слагаемое в левой части этого уравнения можно выразить из условия калибровки (III. 19.9) путём дифференцирования его по времени:

В результате приходим к следующему уравнению для скалярного потенциала поля:

Найдём теперь уравнение для А . С этой целью подставим в уравнение (III. 19.2) выражения полей b и е через потенциалы поля

[см. (III.19.7) и (III.19.8)]. Учитывая, что е0ц0 = Д-, пишем

с

Используя формулу

и производя перегруппировку слагаемых, получим

Согласно (III. 19.9), стоящее в скобках выражение равно нулю. Поэтому окончательно

В математике уравнения типа (III. 19.10) и (III. 19.11) называются уравнениями д’Аламбера. Решения этих уравнений определяют

потенциалы поля ср и А соответственно по заданному распределению зарядов р и токов j . Характеристики же самого электромагнитного поля b и е легко затем находятся по формулам (III. 19.7) и (III. 19.8).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >