Закон сложения скоростей в СТО

Выведем закон, связывающий проекции скорости частицы в ИСО К и К'.

На основании преобразований Лоренца (1.3.12) для бесконечно малых приращений координат частицы и времени можно написать

Разделив в (1.6.1) первые три равенства на четвёртое, а затем числители и знаменатели правых частей получившихся соотношений на dt' и учтя, что

есть проекции скоростей частицы на оси СО К и К', приходим к искомому закону:

Если частица совершает одномерное движение вдоль осей ОХ и О'Х', то, в соответствии с (1.6.2),

Пример 1. ИСО К' движется со скоростью V относительно ИСО К. Под углом 0' к направлению движения в ИСО К' выпущена пуля со скоростью v'. Чему равен этот угол 0 в ИСО К?

Решение. При движении происходит не только сокращение пространственных, но и растяжение временных интервалов. Для нахождения tg0 = vy/vx следует в (1.6.2) разделить вторую формулу на первую, а затем числитель и знаменатель получившейся справа дроби - на v'x = v'cos0' Учитывая, что v'y/v'x = tg0', находим

откуда

Для малых по сравнению со скоростью света скоростей формулы (1.6.2) переходят в известный закон классической механики (1.1.4):

Из формул преобразования проекций скорости частицы (1.6.2) нетрудно определить модуль скорости и её направление в ИСО К через скорость частицы в ИСО К'. Для этого выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости XOY (а, значит, и в плоскости Х'0'Y'), и обозначим через 0 (0') угол между

V (V') и осью ОХ (О'Х'). Тогда

vx = vcos0, v = vsin0, v'x = v'cos©', v* = v'sin©', vz = v'z = 0 (1.6.4) или

Что касается направления скорости частицы в СО К (угол 0), то оно определяется путём почленного деления в (1.6.5) второй формулы на первую:

и подстановка (1.6.4) в (1.6.2) даёт

После возведения в квадрат обоих равенств (1.6.5) и их сложения, получим

Формулы обратного преобразования получаются при замене штрихованных величин на не штрихованные и обратно и заменой V на - V.

Задача 2. Определить относительную скорость v0TH сближения двух космических аппаратов 1 и 2, движущихся навстречу друг другу со скоростями Х И V2-

Решение. Свяжем подвижную СО К' с космическим аппаратом 1. Тогда V = Vi, а искомой относительной скоростью v0TH будет являться скорость аппарата 2 в этой СО. Применяя релятивистский закон сложения скоростей (1.6.3) ко второму аппарату с учётом направления его скорости (v'2 = -v0TH) имеем

откуда

Численные оценки для v, = v2 = 0,9 • с дают

Задача 3. Тело со скоростью v0 налетает перпендикулярно на стенку, движущуюся ему навстречу со скоростью . Пользуясь релятивистским законом сложения скоростей, найти скорость v0Tp тела после отскока. Удар абсолютно упругий, масса стенки намного больше массы тела. Найти v0Tp, если v0 = v = с/3 . Проанализировать предельные случаи.

Решение. Будем считать, что движения тела и стенки происходят вдоль оси ОХ ( у0 > 0, v < 0). Наряду с (1.6.3) нам понадобится формула обратного преобразования

где V - скорость СО К' относительно СО К. Свяжем СО К' со стенкой. Тогда V = -v ив этой СО начальная скорость тела, согласно выражению для v',

Поскольку массу стенки можно считать бесконечно большой, по закону сохранения энергии после упругого удара тело отскочит в обратном направлении с тем же (относительно стенки) абсолютным значением скорости:

Вернёмся теперь назад в лабораторную СО К. Подставляя в

(1.6.3) v'0Tp вместо v' и учитывая опять же, что V = -v, после несложных преобразований получаем искомый результат:

Проанализируем теперь предельные случаи.

• Если скорости тела и стенки малы (v0 « с, v « с), то можно пренебречь всеми членами, где эти скорости и их произведение делятся на скорость света. Тогда из полученной выше общей формулы приходим к известному результату классической механики: v0Tp = -(v0 + 2v) -

скорость тела после отскока увеличивается на удвоенную скорость стенки; направлена она, естественно, противоположно начальной. Ясно, что в релятивистском случае этот результат неверен. В частности, при v0 =v = c/3 из него следует, что скорость тела после отскока будет равна - с, чего быть не может.

• Пусть теперь на стенку налетает тело, движущееся со скоростью света (например, лазерный луч отражается от движущегося зеркала). Подставляя v0 = с в общее выражение для v , получаем v = -с .

Это означает, что скорость лазерного луча изменила направление, но не свою абсолютную величину, - в полном согласии с принципом инвариантности скорости света в вакууме.

• Рассмотрим теперь случай, когда стенка движется с релятивистской скоростью v —> с. В этом случае

Тело после отскока также будет двигаться со скоростью, близкой к скорости света.

  • • Наконец, подставим в общую формулу для v0Tp значения
  • 7

vn = v = с/3 . Тогда = —с * -0,78 • с . В отличие от классической

V Оф д 7

механики, теория относительности даёт для скорости после отскока значение, меньшее скорости света.

• В заключение посмотрим, что случится, если стенка удаляется от тела с той же скоростью v = -v0. В этом случае общая формула для v0Tp приводит к результату: v = v0. Как и в классической механике, тело стенку не догонит и, следовательно, его скорость не изменится.

Результаты опыта описывались формулами

где п - показатель преломления воды, а V - скорость её течения.

До создания СТО результаты опыта Физо рассматривались на основе выдвинутой ещё О. Френелем гипотезы, в рамках которой следовало считать, что движущаяся вода частично увлекает за собой «мировой эфир». Величина

получила название коэффициента увлечения эфира, а формулы (1.7.1) и (1.7.2) при таком подходе непосредственно вытекают из классического закона сложения скоростей: с/п - скорость света в воде относительно эфира, kV - скорость эфира относительно опытной установки.

На самом деле, формулы (1.7.1) и (1.7.2) непосредственно вытекают из релятивистского закона сложения скоростей (1.6.3)

 
Посмотреть оригинал