КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Стандартный вид квадратичной формы

cjp Определение. Квадратичной формой п переменныхxvx2,... ,хп называется функция F(xv х2.....хп), представляющая собой сумму, каждое слагаемое которой

имеет вторую степень относительно этих переменных.

Например,

Обычно используются квадратичные формы следующего вида:

где = ду i,j = 1,2,... ,п.

Данный вид квадратичной формы называется стандартным. Матрица

называется матрицей квадратичной формы. Данная матрица является симметрической, так как а= a- ’, i,j = 1,2,..., п.

Квадратичную форму можно записать в векторно-матричном виде

Пример 8.1. Квадратичную форму

записать в стандартном координатном и векторно-матричном видах. Решение. Квадратичная форма в стандартном координатном виде:

Квадратичная форма в матричном виде:

Преобразование квадратичной формы при невырожденном линейном преобразовании координат

Пусть преобразование координат имеет вид где

Здесь xv х2, ...,хп — старые переменные; у12,...,уп — новые переменные;

С — матрица преобразования координат.

Данное преобразование координат является линейным, так как представляет собой систему линейных уравнений.

Преобразование координат называется невырожденным, если матрица преобразования С невырожденная.

Квадратичная форма F(X) = ХТАХ в новой системе координат примет вид

где Л* = СТАС — матрица квадратичной формы в новой системе координат.

Пример 8.2. Квадратичную форму

записать в новой системе координат, если преобразование координат задано системой уравнений

Решение. Матрица С преобразования координат X = CYимеет вид

Матрица А* квадратичной формы в новой системе координат имеет вид

Запишем квадратичную форму в новой системе координат:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >