Решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности

Рассмотрим задачу Коши для однородного одномерного уравнения теплопроводности (задачу без граничных условий):

Разделяя переменные так же, как и в случае первой краевой задачи (см. формулы (11.23) - (11.25)), получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения

для функций X (.v) и Г(/). Частные решения (11.35) записываются в виде

где мы использовали тот факт, что е±а' - два линейно независимых решения второго из уравнений (11.37).

Так как никаких граничных условий в задаче Коши нс ставится, то параметр разделения Л остается совершенно произвольным; никакого дискретного спектра значений Л вида (11.27) нс появляется. Поэтому при представлении решения в виде суммы частных решений

все значения Л являются равнозначными и нс могут опущены. Поэтому естественно заменить сумму по отдельным значениям интегралом, взятым по параметру Л от -оо до +оо, т.е. положить

Если формально продифференцировать функцию (11.39) под интегралом, то легко видеть, что написанная функция (11.39) удовлетворяет уравнению (11.35) (как непрерывная «сумма» частных решений (11.38), каждое из которых удовлетворяет (11.35)).

Потребуем теперь выполнения начального условия при t = 0, записывая начальную функцию в виде интеграла Фурье

Из анализа известно [57], что при определенных условиях, почти всегда выполненных в физических задачах, любая функция <р{х) представима в виде (11.40). Величины срх называются Фурьс-коэффициснтами, или Фурьс-образом, исходной функции <р(х, являются функцией Я и вычисляются по правилу

Приравняв решение (11.39) при f = 0 представлению начального условия через интеграл Фурье (11.40) и приравнивая Фурьс-коэффициснты при функциях eUx, получаем

Переписывая (11.39) с помощью (11.41), получаем

Внутренний интеграл в (11.42) может быть вычислен (см. [55])

Перепишем решение (11.42) с помощью введенной в (11.43) функции G(x-4,t):

Представленное в такой форме решение приобретает важный физический смысл.

Прежде всего отмстим, что функция G(x-?,/), рассматриваемая как функция от х и t, также является решением уравнения теплопроводности, что может быть проверено непосредственным дифференцированием. Каков физический смысл этого решения?

Выделим малый элемент стержня (х„ -S,x0 + х0, и пусть начальная функция ip(x) равна нулю вне (х0 -5,х0 + 0 внутри данного промежутка. Физически это соответствует ситуации, когда в начальный момент указанному участку стержня сообщается количество тепла Q = 2ScpU0, которое вызывает повышение температуры на величину U0 на этом участке. В последующие моменты времени распределение температуры в стержне дастся формулой (11.44), которая в рассматриваемом случае принимает вид:

Если устремить S к нулю, т.е. считать, что количество тепла Q распределяется на все меньшем участке и в пределе сообщается стержню в точке х0, то мы получаем мгновенный (действующий в момент / = 0) источник тепла в точке х0 мощности Q. Такой источник создаст в стержне следующее распределение температуры:

Так как по теореме о среднем то —» ,v0 при S —> 0, и предыдущее выражение обращается в

Таким образом, функция G(x-^,t), определяемая выражением (11.43), даст распределение температуры, которое вызывается мгновенным источником тепла мощности Q—cp, помещенным в начальный момент t = 0 в точку ?. Функция G(x-^J) называется фундаментальным решением, или функцией Грина, уравнения теплопроводности. График этой функции при а = 1 и для различных моментов времени изображен на рис. 11.3

Как следует из формулы (11.43), для любого х и для / >0 температура, создаваемая мгновенным точечным источником, действующим в момент t = 0, отлична от нуля. Формально получается, что тепло распространяется с бесконечной скоростью. Такое противоречие объясняется тем, что при выводе уравнения теплопроводности нс учитывались инерционность процессов движения молекул.

Рис. 11.3

Представление общего решение в виде (11.44) становится теперь очевидным. Для того чтобы придать сечению стержня Е, температуру <р(4) в начальный момент, требуется распределить на малом элементе cU; около этой точки количество тепла dQ = cp(p(?d?, т.е., иными словами, поместить в точку ? мгновенный источник тепла мощности dQ. Распределение температуры, вызываемое этим источником, равно

Общий же эффект от начальной температуры <р(%) во всех точках стержня суммируется из этих отдельных слагаемых, что и дает представление решения в виде (11.44). Эта формула имеет специальное название - интеграл Пуассона. Доказывается, что для любой ограниченной функции

<р(4)<М представляет при t> О ограниченное решение уравнения теплопроводности, непрерывно переходящее при ( = 0 в 4>{х) во всех точках непрерывности этой функции [61].

 
Посмотреть оригинал