Волновое уравнение

Как было показано выше, гиперболическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными (9.7) может быть при определенных условиях приведено к виду (9.43). Полагая в (9.43) с = 0, получаем простейшее гиперболическое уравнение

Для определенности будем считать, что /бС(й;). В уравнении (9.46) введем новые переменные

и вернемся к привычному обозначению для решения u(z,t) в переменных г и /. Правую часть (9.46) как функцию г и / будем обозначать через /(г,/) (с волной), т.е.

где пока что дифференцирование выполняется по исходным переменным х и у. Выполним указанное дифференцирование, помня, что гиг являются функциями X и у.

Дифференцирование u(z,t) по у даст:

А du(z,t)

Аналогично можно показать, что производная по х от-равна

ду

Подставляя (9.48) в (9.49), а затем в левую часть (9.47), имеем Учитывая далее, что дифференциальный оператор

(смешанные частные производные равны!), окончательно получаем

где f(z,t) = 4f(z,t). Уравнение (9.50) называется волновым и описывает процессы распространения волн вдоль оси z ? Обе формы записи (9.47) и (9.50) гиперболического уравнения на плоскости являются каноническими. Представление (9.47) иногда называют первой канонической формой, а формулу (9.50) - второй канонической формой гиперболического уравнения.

Уравнение Лапласа

Как было показано, эллиптическое уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными (9.7) при определенных условиях может быть преобразовано к виду (9.45).

Положим с=0,/ = 0 и обозначим решение уравнения (9.45) через и(х, у). В этом случае мы имеем простейшее эллиптическое уравнение на плоскости

называемое уравнением Лапласа. Дифференциальный оператор уравнения

  • 3~ д~
  • (9.51) имеет специальное обозначение Л = —7н--- и называется опера-

дх~ ду~

тором Лапласа.

Уравнение теплопроводности

Положив в уравнении (9.44) я = — 1, псрсобозначив переменные по правилу х—»/, y—>z, обозначая решение через u(z,t), а неоднородное слагаемое через -f(z,t), получим так называемое уравнение теплопроводности:

Уравнение (9.52) описывает распространение тепла вдоль оси Z-

 
Посмотреть оригинал