Применение закона сохранения энергии для определения космических скоростей

Произведем расчет первой и второй космических скоростей без учета сопротивления среды.

Согласно закону сохранения энергии сумма кинетической и потенциальной энергии тела на поверхности Земли и на орбите сохраняется (при этом необходимо помнить, что потенциальная энергия в поле тяготения отрицательна):

где т — масса корабля, М — масса Земли, Л — радиус Земли, /--радиус орбиты относительно центра Земли (орбиту считаем круговой), о0 — скорость, которую необходимо сообщить кораблю для вывода его на орбиту, V — скорость корабля на орбите, Ф — гравитационная постоянная.

Чтобы в уравнении (1) исключить V, примем, что в случае движения корабля по круговой орбите (или близкой к ней) центростремительное ускорение ему сообщает сила тяготения, т.е.

Выражение (2) можно привести к виду:

Подставив (3) в (1), получим: откуда

Для нахождения первой космической скорости в формуле (4) можно принять /• = Л (корабль надо вывести на околоземную орбиту):

Учитывая, что вблизи поверхности Земли О

Л2

получаем:

Подставив числовые значения, найдем:

= л/9,81-6,3710" = 7,9 (км/с).

Для нахождения второй космической скорости в формуле (4) следует принять г —[корабль надо вывести на орбиту искусственной планеты Солнечной системы (корабль должен преодолеть притяжение Земли)]. Тогда вторая космическая скорость

Если, однако, запуск производится не с Земли, а с высоты к над ее поверхностью (например, с орбитальной станции), то ракета может стартовать с меньшей скоростью:

Применение закона сохранения энергии при скатывании тел с наклонной плоскости

При скатывании тел (например, обруча, сплошного цилиндра, шара) с наклонной плоскости считаем, что скатывающееся тело обладает симметрией вращения относительно геометрической оси и при движении не возникает скольжения.

Пусть с наклонной плоскости высотой к без скольжения скатываются: обруч; сплошной цилиндр; шар. Определим скорости, которые будут иметь тела у основания наклонной плоскости. Радиусы тел равны И.

При скатывании тела с наклонной плоскости согласно закону сохранения энергии потенциальная энергия тела переходит в кинетическую энергию поступательного движения со скоростью V центра масс и кинетическую энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс:

где т — масса тела, J — момент инерции тела. Учитывая, что (д = и /Я, получаем:

Тогда искомая скорость тел

  • 1. Для обруча е/ = тВ2, где V =
  • 2. Для сплошного цилиндра

О ТТ Т 2 о2 /ТО^/Г

  • 3. Для шара у = —тВу и = Л—-±—.
  • 5 V 7
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >