Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Педагогика
Посмотреть оригинал

Разностные уравнения в системе подготовки специалистов экономического профиля

[1]

Как было показано в предыдущем разделе, важным инструментом построения математических моделей социально-экономических задач, задач планирования, управления и сервиса являются дифференциальные уравнения (см., например, [26, 44]).

Дискретным аналогом таких уравнений являются разностные уравнения [44]. В них операция дифференцирования заменяется конечной разностью, переводящей последовательность значений искомой функции в различные моменты времени в последовательность конечных разностей.

Применение разностных уравнений первого порядка для исследования паутинообразной модели рынка

Постановка задачи

Пусть некоторая производственная фирма определяет предложение 5 товара в текущем периоде на основе цены р , установившейся в

предыдущем периоде: St = S(pt_j) . Спрос на товар D зависит от цены товара в данном периоде: Dt = D(pt). Требуется исследовать динамику цен и найти равновесную цену.

Математическая модель задачи

Для построения математической модели предположим, что функции спроса и предложения линейны относительно цены, причем с ростом цены предложение растет, а спрос падает. St = т + qpt_, D, -a-bpt. Здесь а> ш > 0, q> 0, b> 0 .

Найдем равновесную цену из условия равенства спроса и предложения Dt = St. В результате получим разностное уравнение bpt + qpt_ = а — т. Переходя на один период по времени, придем к

линейному неоднородному разностному уравнению первого порядка относительно цены

Решение задачи

Как и при решении линейных дифференциальных уравнений, решение уравнения (63) может быть представлено как сумма общего решения рх (t) однородного и частного решения p+(t) неоднородного уравнений

Решение соответствующего однородного уравнения находится в виде

где С - произвольная постоянная.

Частное решение неоднородного уравнения (63) следует искать в виде

После подстановки в уравнение (63) получим

Подставив теперь найденные выражения (65) и (66) в общее решение (64) неоднородного уравнения, получим

Постоянная С находится из условия задания начальной цены р0 при t = 0 :

Подставив найденные выражения в общее решение, получим

Исследование решения задачи

Полученное решение позволяет наглядно продемонстрировать динамику изменения цены в зависимости от величин параметров q и Ъ.

Рисунок 0.1

Рисунок 0.2

Рисунок 0.3

1. Если q < b , то последовательность цен {pt} будет сходиться к равновес- а — т

ному состоянию р* =- (рисунок

q + п

  • 0.1).
  • 2. Если q > b, то с течением времени цена р, будет удаляться от равновесного состояния (рисунок 0.2). [2]

Подводя итог изложенному, отметим, что мы познакомились с важным с точки зрения приложений классом уравнений, а именно с разностными уравнениями. Рассмотренное одно из приложений показало пример решения задач экономической динамики с дискретным временем.

Модель делового цикла Самуэлъсона-Хикса

Рассмотрим теперь пример построения математической модели делового цикла Самуэльсона-Хикса и решения соответствующего линейного разностного уравнения второго порядка.

Построение математической модели

Модель Самуэльсона-Хикса или модель мультипликатора- акселератора - динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием мультипликатора инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций) и акселератора (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).

Построим математическую модель делового цикла Самуэльсона- Хикса (см., например, [44]). В этой модели используется так называемый принцип акселерации, то есть предположение о том, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода It = V{yt_ - у,_2), где V > 0 - фактор акселерации, It - величина инвестиций в период t, yt_2, yt_x - величины национального дохода в (/-2)-м и (/ -1)-м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе С, = ayt_x + b .

Тогда условие равенства спроса и предложения yt =It + Ct приводит к разностному уравнению

называемому уравнением Хикса.

Переходя на два периода по времени и вводя обозначения р = -(а + V), q = V , придем к линейному неоднородному разностному уравнению второго порядка

Решение задачи

Структура общего решения уравнения (69) определяется как сумма общего решения (?) однородного и частного решения уг (?) неоднородного уравнений:

Для решения однородного уравнения составляется характери- стическое уравнение X + рХ + q = 0 . Решение однородного уравнения

’у

зависит от величины дискриминанта D = р -4q (см., наир., [37]).

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y(t) = c. Тогда yt = У,+ = yt+2 = с и из уравнения (69) получаем с + pc + qc-b. Следовательно,

Рассмотрим решение уравнения Хикса (68) при конкретных значениях параметров а = 0.5 , V = 0.5, Ь- 4 , то есть решение уравнения

Ух ~ Ух-i + °-5У(-2 = 4

Частное решение этого уравнения, согласно формуле (71), будет иметь вид

Для построения общего решения соответствующего однородного уравнения составим характеристическое уравнение

Дискриминант этого уравнения равен D = 1 - 4 • 0.5 = -1 < 0, а его корни равны

Следовательно, общее решение соответствующего однородного уравнения примет вид

Окончательно, подставив (73) и (72) в (70), найдем общее решение исходного неоднородного уравнения

Характер поведения решения (74) при различных значениях постоянных Cj и С2 демонстрируют приведенные ниже примеры (рисунок 1-

рисунок 4). Величины параметров указаны в подписях к рисункам.

Видно, что присутствие тригонометрических функций в решении приводит к колебательному характеру изменения национального дохода.

При этом амплитуда колебаний - с течением времени убывает.

V 2

Динамика поведения решения при С] = 0

Рисунок 0.4 - Динамика поведения решения при С] = 0,

Динамика поведения решения при С) = 0

Рисунок 0.5 - Динамика поведения решения при С) = 0,

Динамика поведения решения при С = 1

Рисунок 0.6 - Динамика поведения решения при С1 = 1,

С2 =0

Динамика поведения решения при

Рисунок 0.7 - Динамика поведения решения при

С, = -1, с2 = о

1 Отметим, что в учебнике [44]. откуда взят этот пример, имеется неточность в определении корней характеристического уравнения. Поэтому в [44] сделан неверный вывод о возрастании амплитуды колебаний.

Подводя итог изложенному, отметим, что мы познакомились с важным с точки зрения приложений классом уравнений, а именно с разностными уравнениями. Рассмотренная модель делового цикла Самуэльсона-Хикса показала пример решения задач экономической динамики с дискретным временем.

Динамическая модель Леонтьева, как пример линейной системы разностных уравнений

В настоящем параграфе на примере динамической модели В.В. Леонтьева рассмотрим применение линейных систем разностных уравнений для описания модели межотраслевого баланса. Данная система уравнений учитывает инерцию планирования. В результате продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период t + 1.

Модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс (МОБ) - это экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Он характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимыми для обеспечения этого выпуска.

Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны В.В. Леонтьевым в Берлине, русскую версию его статьи под названием «Баланс народного хозяйства СССР» опубликовал журнал «Плановое хозяйство» в № 12 за 1925 год [25].

В своей статье учёный показал, что коэффициенты, выражающие связи между отраслями экономики, достаточно стабильны и их можно прогнозировать.

В 1930-е годы В.В. Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры для исследования экономики США. Метод стал известен под названием «затраты- выпуск». Аналогичный баланс для СССР, разработанный Леонтьевым, использовался властями США для принятия решения об объёмах и структуре Ленд-лиза.

Первая в нашей стране и одна из первых в мире динамическая межотраслевая модель национальной экономики была разработана в Новосибирске доктором экономических наук Н.Ф. Шатиловым. В дальнейшем, под разные конкретные задачи, разрабатывались и другие динамические модели МОБ.

В настоящем разделе показано построение динамической модели МОБ с использованием теории разностных уравнений.

Построение математической модели

Классическая модель МОБ описывается на языке линейной алгебры уравнением Леонтьева

где

В уравнении Леонтьева (75) все его компоненты полагались осредненными за некоторый период времени.

В реальности же продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период t, определяется не текущим выпуском, а выпуском в последующий период t + 1.

Эта задержка производства обусловлена многими факторами. Например:

  • • инерцией планирования производства,
  • • инерцией его перенастройки,
  • • изменением расходов на сырье

и т.д.

Таким образом, мы пришли к системе линейных неоднородных разностных уравнений первого порядка

которая может быть расписана в следующем виде

Постановка задачи

Определить динамику вектора валового выпуска X(t), при заданной матрице коэффициентов прямых затрат

и при заданном векторе конечного потребления

Решение задачи

Согласно условиям задачи ее решение сводится к решению системы линейных неоднородных разностных уравнений

Общее решение этой системы ищется как сумма частного ее решения ХДО и общего решения Х{ (t) соответствующей системы однородных разностных уравнений

Используя метод неопределенных коэффициентов, получим, что частное решение системы неоднородных уравнений имеет вид

Общее решение системы однородных уравнений было получено в виде

где Cj, С2 - произвольные коэффициенты, A,j = 0,5, 2 = -0,1 •

Складывая решения X+(t) и X~(t), найдем общее решение рассматриваемой задачи

Полученное решение показывает динамику изменения вектора валового выпуска в двухотраслевой динамической модели Леонтьева.

Произвольные постоянные С{ и С2 определяются по задаваемым начальным условиям.

Итак, мы познакомились с динамической моделью межотраслевого баланса, приводящую с системе линейных неоднородных разностных уравнений первого порядка.

Приведенный пример показывает важность изучения данных уравнений, как имеющих несомненное прикладное значение.

  • [1] Данный раздел написан с использованием материалов работ [3, 14, 34, 35, 39].
  • [2] При q = b будут иметь место циклические колебания цены относительноравновесного состояния (рисунок 0.3).
 
Посмотреть оригинал
 

Популярные страницы