Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Педагогика arrow Интеграция математического моделирования и инновационных подходов к обучению в образовании
Посмотреть оригинал

Математический анализ - основа описания экономических и социальных процессов

[1]

Велико значение математики, как научной системы, дающей возможность изучения окружающей действительности. Проникновение ее в экономику, планирование, управление и сервис является особенностью современного развития общества.

Современные экономические и социальные теории и исследования, опирающиеся в значительной степени на использование математических моделей и методов анализа, требуют от экономистов, менеджеров и работников сервиса достаточно свободного владения математическим аппаратом.

Знание поведения основных элементарных функций, дает возможность сформулировать основополагающую в любой экономической теории связь между спросом у и стоимостью х в виде функциональной зависимости у = — , графиком которой является гипербола.

х

Дисциплина «Математика» и такой ее раздел, как «Математический анализ», являются необходимым инструментом, лежащим в основе изучения как общенаучных, так и специальных дисциплин в вузах экономического профиля (см., напр., [8, 26, 44, 45]).

В настоящем разделе мы рассмотрим основные понятия, встречающиеся в задачах экономики, а также связанные с ними функциональные зависимости и их показатели.

Полные, средние и предельные экономические показатели; оптимальный объем выпуска продукции

Функции спроса и предложения

Функциональная связь между количеством покупаемого товара Q (или q) (от английского слова quantity - объем) и его ценой Р (или р) (от price - цена), то есть функциональная зависимость вида Qd =f(P) (или qD =/(/?)), называется функцией спроса (индекс D от demand - спрос).

Зависимость между произведенной продукцией и ее ценой Qs = q(P) (или qs = q(p)) называется функцией предложения (индекс 5 от supply - предложение).

Иногда функции спроса и предложения записывают в виде D: PD = P(q); S: Ps = P(q), то есть как зависимость цены от объема продукции.

Ситуация, когда величина спроса равна величине предложения, называется равновесием, a pQ и q0 - равновесной ценой и равновесным объемом. Для их нахождения необходимо решить уравнение

PD(q) = Ps(q)-

Полные экономические показатели

Обычно в экономике полные (суммарные) показатели сопровождаются буквой Т (total). Например:

  • TR(q) - полный доход (total revenue);
  • TC(q) - полные затраты (total cost);
  • TQ(0 - полный объем выпуска в зависимости от вложенного труда / (total quantity);
  • • П - прибыль (profit).

Средние экономические показатели

Средние величины определяются как отношение полных показателей к независимой переменной и сопровождаются буквой А (от английского average - средний).

Например:

  • AR(q) = TR(q)/q - средний доход (average revenue);
  • AC(q) = TC(q)/q - средние издержки (average cost) и т. д.

Предельные экономические показатели

Предельные (маржинальные) экономические показатели определяются как предел отношения приращения показателя к приращению независимой переменной. Например,

  • MR(q)- lim (ATR/Aq) - (TR(q)) - предельная величина дохода (marginal геУ^ВЙ^);
  • MC(q)- lim (ATC/Aq) - (TC(q)) - предельные затраты (marginal cost);
  • MQ(q)= lim {ATQ/Aq)-( TQ(q)) - предельный объем выпуска. Таким обра%^ в экономике встречаются многочисленные примеры функциональных зависимостей. Причем предельные экономические показатели представляют собой производные от этих функций.

Эластичность функции и ее место в исследовании задач экономики

Одним из инструментов исследования социально-экономических процессов является теория дифференциального исчисления, основанная на понятии производной (см. п.0). Производная функции позволяет определить скорость абсолютных ее изменений в зависимости от изменений аргумента.

Если АР - изменение цены, AQ - вызванное им изменение объ-

dQ

ема спроса, то значение производной покажет, на сколько единиц

изменится спрос в расчете на единичное изменение цены в бесконечно малой окрестности исходного значения.

Однако очень часто экономиста гораздо больше интересуют не абсолютные, а относительные изменения. Например, непосредственное использование производной как характеристики реакции спроса на изменение цен не дает ответа на ряд вопросов, интересующих экономиста.

Если, например, маленький арбуз подорожал на 1 рубль, то при этом большой арбуз подорожал, скажем, на 3 рубля, или даже больше. В то же время, если арбузы подорожали в 1,5 раза, то в 1,5 раза дороже стал и маленький, и большой арбуз, и килограмм, и вагон арбузов.

Анализ относительных изменений позволяет судить о многих экономических явлениях с большей степенью общности, чем анализ абсолютных изменений. Поэтому наряду с производными при анализе различных зависимостей в экономике широко пользуются особыми показателями - эластичностями.

Определение

Эластичность (elasticity) - это мера чувствительности одной переменной (например: спроса или предложения) к изменению другой (например: цены, дохода), показывающая на сколько процентов изменится первый показатель при изменении второго на 1%.

Рассмотрим функцию у - /(х) и введем относительные изменения входящих в нее переменных

Тогда можно дать следующее определение эластичности функции.

Определение. Эластичностью (коэффициентом эластичности) переменной у по переменной х называется предел

Приведенное определение дает значение эластичности в конкретной точке. Такую эластичность еще называют точечной.

В ряде случаев рассчитывают также среднюю (дуговую) эластичность как отношение процентных изменений у и х на отрезке

где

При рассмотрении средней эластичности иногда вместо х] и у1 используют среднюю точку в интервале изменения их значений:

Тогда получаем следующую формулу

Свойства эластичности

  • 1. Эластичность - это безразмерная величина, значение которой не зависит от того, в каких единицах измерены аргумент и функция.
  • 2. Эластичности взаимно обратных функций - взаимно обратные величины:

3. Эластичность переменной у по переменной х равна производной логарифма у по логарифму х:

Виды эластичности функции

В зависимости от величины коэффициента эластичности функции подразделяют на 3 вида.

1. Функция называется эластичной, если

2. Функция называется неэластичной, если

3. Функция называется нейтральной, если

1.1.1.2. Примеры задач использования эластичности функции Задача №1

Постановка задачи. Найти эластичность спроса D от цены р,

если

Решение. Вычислим точечный коэффициент эластичности

Таким образом, < 1 то есть спрос неэластичный.

Это означает, что при возрастании цены на 1% спрос уменьшается примерно на 0,5%. При уменьшении цены на 1% спрос возрастает на 0.5%.

Задача №2

Постановка задачи. Найти эластичность спроса I от цены Е, если

Решение. Вычислим точечный коэффициент эластичности

Таким образом, > 1, то есть спрос эластичный.

Это означает, что при возрастании цены на 1% спрос уменьшается примерно на 3%. При уменьшении цены на 1% спрос возрастает на 3%.

Задача №3

Постановка задачи. Найти эластичность функций спроса и предложения в точке равновесия, если они имеют вид

Решение. Найдем равновесную цену из условия равенства спроса и предложения

Второй корень - лишний, так как цена р не может быть отрицательной.

Найдем эластичности функций

Вычислим их значения в точке равновесия р - 5 :

Видим, что обе функции в точке равновесия являются эластичными.

Итак, мы продемонстрировали применение понятия эластичности функции в задачах экономики; показали влияние величины эластичности функции спроса на поведение потребителя при изменении цены на товар. Также на примере конкретных функций спроса провели исследование их эластичности в точке равновесия.

  • [1] Данный раздел написан с использованием материалов работ [20, 40].
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы