Численно-аналитическое решение задачи о колебаниях балки при ударе

Математическая формулировка задачи.

Рассматривается задача о действии поперечной ударной нагрузки в середине балки (рис. 3.11.1), определяется линия прогибов балки для любого

* jah тп'тп >-» v пч т» i»i Л А оппа» « О'т’п налтлп гт т/Л1Л11.итп1ЛЛпг/*о чо птш ижсллпп пип*

где y(x,t) - прогиб балки в точке х в момент времени t; х - координата по длине балки, 0<х0; a0=EJ/p; К) - изгибная жесткость балки; р - плотность материала балки; F(x,t)-P? 6{x — 1/2)S(t) - функция, моделирующая поперечное ударное воздействие по балке в точке х = I / 2 ; S(x — Р./2) и S(t) - дельта-функции

Расчетная схема балки

Рис. 3.11.1. Расчетная схема балки.

Дискретно-аналитический метод решения задачи.

Схема дискретизации

Рис. 3.11.2. Схема дискретизации.

Для решения задачи будем использовать дискретно-аналитический метод, который состоит в следующем: по оси х осуществляется конечноразностная аппроксимация, а по оси времени t рассматривается непрерывная (континуальная) задача (рис. 3.11.2).

Введем обозначения: где в простейшем случае

Поясним, что здесь N - количество внутренних узлов конечноразностной сетки, причем пусть N - нечетное число (для удобства задания точки приложения силы).

Для всех внутренних узлов i = 1,2,..., N запишем конечно-разностное уравнение — лиекпетный аналог упаинения колебаний ГЗ 1 1 П:

где

- вторая конечная разность, приближенно представляющая вторую производную от искомой функции y(x,t) по аргументу х.

В соответствии с краевыми условиями из (3.11.1) для граничных узлов,

оцейипнп можем чапиеатн-

можем представить разрешающую систему конечно-разностных уравнении (3.11.7)-(3.11.11) в матричном виде откуда можно записать

Поясним, что в векторе F0 лишь один «срединный элемент» (с номером / = (N +1) / 2) равен единице, а остальные элементы равны нулю. Ненулевой элемент вектора соответствует узлу конечно-разностной сетки с координатой х = #/2, в котором в момент времени t = 0 приложено сосредоточенное ударное воздействие величиной Р .

Заметим, что матрица А положительно определена, т.е. все ее собственные числа положительные (в этом можно убедиться и при их непосредственном вычислении).

По условию рассматриваемой задачи

Подставив (3.11.16) в (3.11.15), получим окончательный вид общего решения:

 
Посмотреть оригинал