Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Информатика
Посмотреть оригинал

Численно-аналитическое решение задачи теплопроводности

Математическая постановка задачи приведена в пункте 3.5.2 параграфа 3.5 и соответственно описывается формулами (3.5.1)-(3.5.3).

Ниже рассмотрим дискретно-аналитический метод решения задачи, который состоит в следующем: по оси х осуществляется конечноразностная аппроксимация, а по времени t рассматривается непрерывная (континуальная)задача.

Пусть х , / = 0,1,2,N, N+1 - координаты точек разбиения, причем х0 = 0 и xv+1 = i - граничные точки (координаты точек, в которых заданы краевые условия). Итак, искомыми будут функции ?/(/), / = 1,2,..., 7V (температура) во внутренних узлах сетки. Схема аппроксимации пространственно-временной области в данном случае условно показана на рис. 3.10.1.

Во всех внутренних точках узлах / = 1,2,..., N (0<х уравнение теплопроводности в (3.5.1) примет вид:

Пространственно-временная область

Рис. 3.10.1. Пространственно-временная область: при этом пусть

В соответствии с краевыми условиями из (3.5.1) для граничных точек, в свою очередь, можем записать:

Следовательно, уравнения теплопроводности для узлов с номерами / = 1 и / = N имеют соответственно вид:

Введем обозначения:

Выполняем интегрирование: откуда окончательно находим:

Реализация формулы (3.10.11) предполагает вычисление экспоненты от матрицы равной А ? t, для выполнения которого следует воспользоваться результатами параграфа 3.8 (см. формулу (3.8.17)). Имеем:

где 7 - матрица собственных векторов матрицы А; 7”1 - обратная матрица к матрице 7 (ниже Я. - собственные числа матрицы А , к = 1,2,..., N);

 
Посмотреть оригинал
 

Популярные страницы