Методы обработки результатов экспериментальных исследований

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую воз-

Х.,Х?,Х,...Хп р,, Рт, р,...рп

можные значения 1 z J "с вероятностями 1 z J . Среднее значение случайной величины X, которое обозначим М[Х]

Учитывая, что

Математическое ожидание есть не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек. При большом числе опытов среднее арифметическое случайной величины приближается (сходится по вероятности) к её математическому ожиданию. Практически, поскольку число измерений ограничено, мы имеем дело со средним арифметическим, т.е. для экспериментатора

Другой важной характеристикой распределения случайной величины является дисперсия. Это математическое ожидание случайной величи-

(Х — Х)2

ны ' ' .Дисперсия это разбросанность случайной величины относительно ее среднего значения.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядности рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величины X:

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Га- усса) играет исключительно важную роль и занимает среди законов распределения особое положение. Главная особенность, выделяющая нормальный закон, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся условиях.

Можно доказать, что сумма большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных каким угодно законам распределения, приближенно подчиняется нормальному закону (Рисунок

5.5), и это выполняется тем точнее, чем большее количество случайных величин суммируется. Большинство встречающихся на практике случайных величин, таких, например, как ошибки стрельбы, ошибки измерений и т.д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых — элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной причины, не зависящей от остальных. Каким бы законам не были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Основное ограничение, накладываемое на суммируемые ошибки, состоит в том, чтобы все они играли в общей сумме относительно малую роль. Если одна из ошибок по своему влиянию на сумму резко превалирует над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки наложит свое влияние на сумму и определит в основных чертах ее закон распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Максимальная ордината кривой соответствует X = X ш

Для получения результатов достаточной точности и отсеивания результатов измерений, которые могут привести к ошибке, необходимо учитывать погрешности, возникающие при измерениях. В основном это систематические и случайные погрешности.

Систематические погрешности условно можно разделить на четыре группы.

Графическое изображение нормального закона распределения

Рисунок 5.5 - Графическое изображение нормального закона распределения.

  • 1. Погрешности, природа которых нам хорошо известна их значение может быть достаточно точно определено введением соответствующих поправок. Примеры таких погрешностей: неучет архимедовой силы в воздухе при взвешивании; неучет температурного коэффициента сопротивления при вычислении сопротивления и т.д. Подобные источники погрешностей нужно анализировать, величины поправок вычислять и учитывать в окончательном результате. Требуется разумный подход: не имеет смысла учитывать поправку, если она составляет менее 0,005 от среднеквадратичной погрешности.
  • 2. Погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. К их числу относятся погрешности измерительных приборов. Погрешности приборов указываются либо на самих приборах в виде абсолютной погрешности, либо в паспорте к прибору.
  • 3. Погрешности, обусловленные объектом измерений. При измерении диаметра детали можно допустить ошибку, если она имеет эллипс- ность. Избавляются от такого сорта ошибок просто: переводят их в разряд случайных: диаметр следует измерять несколько раз, в разных местах. Перевод систематической погрешности в случайную называется рандомизацией. Эти три группы систематических погрешностей измерений можно оценить и учесть при записи окончательного результата.
  • 4. Погрешности, о существовании которых мы не подозреваем, хотя они могут быть существенными. Например, необходимо измерить плотность какого-то металла: для этого измеряем массу и объем образца — и совершим большую ошибку, если металл содержал внутри пустоты (мы о них разумеется не знали). Это — простой случай, исключить эту ошибку можно, взяв несколько других образцов из этого же металла. При более сложных измерениях нужно всегда более тщательно продумывать их методику, чтобы избежать ошибок такого рода; чем сложнее опыт, тем больше оснований думать, что какой-то источник систематических ошибок остался неучтенным и вносит большой вклад в погрешность измерений. Вся история развития точных наук показывает, что от такого рода погрешностей не свободны даже самые лучшие, наиболее тщательно проведенные измерения.

Чтобы выявить случайную погрешность, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает заметно отличные от других результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная погрешность существенна. За наиболее вероятное значение измеряемой величины обычно принимают ее среднеарифметическое. Строго — это справедливо при нормальном законе распределения, а он встречается в преобладающем большинстве случаев. При оценке случайной погрешности очень важно строго разграничивать применение средней квадратичной погрешности отдельного измерения.

Случайную погрешность можно уменьшить, увеличивая число измерений. Пусть систематическая погрешность измерений, определяемая классом точности прибора или другими аналогичными обстоятельствами, будет d . Уменьшать случайную погрешность целесообразно только до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью определяться ее систематической составляющей. Для этого необходимо, чтобы доверительный интервал, определенный с выбранной степенью надежности, был существенно меньше величины систематической погрешности, т.е.

Разумеется, нужно условится, какая степень надежности требуется и какую величину для случайных погрешностей следует считать допустимой, т.е. какое соотношение величин АХ и 5 можно считать удовлетворяющей условию 3.5 Строгую оценку этого сделать трудно, однако можно исходить из того, что, как правило, нет необходимости определять общую погрешность с относительной погрешностью, меньшей 0,1.

Это означает, что должно быть АХ< 0,18. Практически можно удовлетвориться и менее жестким требованием.

Следует отметить, что увеличением числа измерений можно устранить влияние случайной погрешности на результат измерения только в том случае, если среднеквадратичная погрешность в небольшое число раз (о— не более пяти) превосходит систематическую. В противном случае потребуются согни и тысячи измерений, что невозможно осуществить на практике.

В случае, когда мы хотим охарактеризовать точность применяемого способа измерений, следует использовать, следующую формулу:

С целью повышения достоверности полученных результатов проводят ряд параллельных опытов, число которых п определяет сам исследователь, исходя из конкретных условий эксперимента, характера исследуемого объекта и выбранного плана эксперимента. Однако при проведении параллельных опытов необходимо быть уверенным в воспроизводимости эксперимента, т.е. в том, что все полученные в п опытах значения YY2,...Yn являются результатом случайного рассеяния, а не результатом доминирующего действия какого-либо неконтролируемого и неуправляемого воздействия. Если при проведении эксперимента отсутствует такое доминирующее воздействие, то при возрастании числа параллельных опытов распределение экспериментальных значений функции отклика будет подчиняться закону Гаусса. Соответствие экспериментального распределения случайной величины предполагаемому теоретическому закону распределения можно оценить с помощью нескольких критериев: Фишера, Кохрена, Стьюдента. Простейшими из них являются критерии Фишера и Кохрена; более строгим — критерий Стьюдента.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >