Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений

Рассмотрим две независимые нормально распределенные слу-

ч 2 2

чайные величины X и Y. Будем считать, что их дисперсии а и а из- вестны, а математические ожидания ах и ау неизвестны. Ставится задача проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий. Сформулируем нулевую гипотезу Н0 ах = ау.

В качестве критерия выберем случайную величину

где выборочные средние X и Y также, как X и Y являются независимыми нормально распределенными случайными величинами, а пх и пу — объемы выборок, извлеченных из этих случайных величин.

Заметим, что критерий (9.2) и (9.1) имеют одинаковые функции распределения, соответствующие стандартному нормальному распределению. Поэтому критические значения критерия (9.2) определяются также как и для случая критерия (9.1), а наблюдаемое значение вычисляется по формуле:

« 2 2

Рассмотрим случай, когда дисперсии а и сГ неизвестны, но из-

X у

вестно отношение между ними:

Можно показать, что эта случайная величина имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = n +п - 2.

х у

В частном случае, если дисперсии равны, то b = 1 и критерий Т имеет более простой вид:

Заметим, что критерий, имеющий распределение Стьюдента с k = п - 1 степенями свободы рассматривался в п. 9.2.2. Критерий (9.3) отличается от рассмотренного ранее только лишь числом степеней свободы. Поэтому схема нахождения критических точек в данном случае идентична той, которая рассмотрена в п. 9.2.2. При этом следует помнить, что вид критической области зависит от формулировки альтернативной гипотезы.

Пример 9.6. Из всех супермаркетов города А сделана случайная выборка, включающая 17 супермаркетов. Аналогично из всей совокупности супермаркетов города В получена выборка из 10 супермаркетов. Средний ежедневный объем продаж за период в один квартал для 17 супермаркетов города А составляет 15 млн руб. при исправленном среднем квадратичном отклонении s = 2,5 млн руб., а для 10 супермаркетов города В — 13 млн руб. при 5 = 3 млн руб.

Существенно ли различие объемов продаж в городах А и В при 5%-м уровне значимости?

Решение. Предполагаем, что случайные величины — объемы ежедневных продаж X и У в городах А и В — подчинены нормальному закону распределения и имеют одинаковые дисперсии. Сами дисперсии и математические ожидания а и а этих распределений неизвест-

-г г- 1 у

ны. 1аким образом, ставится задача оценки статистической гипотезы HQ: ах = ау при альтернативной гипотезе Ну. ах * ау.

Учитывая, что число степеней свободы k = 17 + 10 - 2 = 25, уровень значимости а = 0,05, а также то, что в соответствии с принятой альтернативной гипотезой, критическая область является двусторонней, по таблице ^-распределения находим о/2 = -1 лра/2 = 2,06. Таким образом, критическая область представляет собой два интервала (-оо; -2,06) и (2,06; +°°).

Вычислим наблюдаемое значение критерия ?набп:

Полученное значение критерия ?набл не принадлежит критической области, следовательно, разность несущественна и гипотеза Н0 принимается.

Пример 9.7. Банк имеет 2 филиала. В течение месяца в первом филиале открыли счет 24 человека, положив в среднем по 175 тыс. руб. при исправленном среднем квадратическом отклонении 30 тыс. руб., а во втором филиале открыли счет 18 человек, положив на счет в среднем по 205 тыс. руб. при исправленном среднем квадратическом отклонении 25 тыс. руб. Полагая, что размеры вкладов имеют нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями, при уровне значимости a = 0,05, выяснить значимо ли различие в суммах вкладов в этих двух филиалах.

Решение. Проверим статистическую гипотезу HQ: ах = ау. Рассмотрим две альтернативные гипотезы Н у ах * ау и Н у ах < а .

Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n +п - 2 = 24 + 18 - 2= 40 степенями свободы.

X у

По таблице (см. приложение 5), учитывая 5% уровень значимости найдем для двусторонней критической области 1кра/2 = 2,02, а в случае левосторонней критической области 1кра = — 1,68. Таким образом двусторонняя критическая область определяется двумя интервалами (-°°; -2,02) и (2,02; +°°), а левосторонняя критическая область одним интервалом (-°°; -1,68).

По выборочным данным вычисляем значение критерия

Поскольку значение критерия в обоих случаях принадлежит критической области, то различие математических ожиданий значимо и гипотеза Н0: ах = ау отвергается для двух рассмотренных альтернативных гипотез.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >