Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии

Пусть генеральная совокупность характеризуется нормально рас- пределеннои случайной величиной X, дисперсия а которой неизвестна.

Выдвигается гипотеза Нп, которая заключается в том, что дислер-

2

сия равна предполагаемому значению ст0:

Для проверки этой гипотезы используется критерий с2

где б — исправленная дисперсия; и — объем выборки.

Величина К имеет ^-распределение с числом степеней свободы k = n— 1.

Отметим, что график функции распределения этого критерия является несимметричным, а значения критерия только положительными (см. рис. 8.3).

Построим критические области для трех видов альтернативной гипотезы.

1. Ну а2 > 0q.

Критическую точку определим из условия

используя таблицу распределения %2 (см. приложение 3), зная уровень значимости а и число степеней свободы k.

2. Ну а2 < ад.

Поскольку критерий К неотрицателен, то критическая область имеет вид (0, kK^a), где точка kK^a находится с помощью таблицы распределения х2из условия

3. Ну а2 * о2д.

В этом случае критическая область состоит из двух интервалов (О, &*ра/9) и (&*pa/2, +°°), где критические точки определяются из следующих условий:

Критические области для всех случаев альтернативной гипотезы приведены на рис. 9.4.

Критические области критерия К = ——

Рис. 9.4. Критические области критерия К = ——

Пример 9.4. Точность работы станка проверяется по среднему квадратическому отклонению толщины деталей, которое не должна превышать 0,4 мкм. Случайным образом отобрано 25 деталей. Получено исправленное значение среднего квадратичного отклонения 0,5 мкм. При уровне значимости а = 0,05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность. Предполагается, что толщина детали — нормально распределенная случайная величина.

Решение. Требуемая точность будет обеспечена, если генеральная дисперсия Gq < 0,42 = 0,16. Поскольку исправленная дисперсия s2 = 0,25 > 0,16 за нулевую гипотезу примем HQ: а2 = 0,16, а за альтернативную Н{: а2 > 0,16. В этом случае имеем правостороннюю критическую область. В качестве критерия рассматривается величина

Число степеней свободы k = 25 - 1 = 24. По таблице распределения (см. приложение 3) находим /е'^’ц = 36,4. Таким образом, критическая область определяется интервалом (36,4; +°°).

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Так как &на6л попадает в критическую область, гипотезу Н0 отвергаем.

Пример 9.5. Ценная бумага может быть отнесена к разряду малорисковых в условиях стабильной экономики, если отклонение ее рыночной стоимости от номинала не превышает 1%. Брокер, желая приобрести некоторую ценную бумагу, один месяц (20 рабочих дней) регистрировал ее цену. Им было получено исправленное среднее квадратическое отклонение s = 1,3%. При уровне значимости а = 0,05 установить, можно ли эту ценную бумагу отнести к числу малорисковых.

Решение. Предположим, что отклонение стоимости от номинала является нормально распределенной случайной величиной. Проверим гипотезу Н0: а2 = 1% при альтернативной гипотезе а2 > 1%. В этом случае имеем правостороннюю критическую область для критерия

Число степеней свободы k = 20 - 1 = 19. По таблице (приложение 3) находим = 30,1. Таким образом, критическая область имеет вид (30,1; +°°). Вычисляем наблюдаемое значение критерия

Так как значение tm6ji = 32,11 попадает в критическую область, гипотезу HQотвергаем.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >